Как решать интеграл в excel

Как решать интеграл в excel

Вычислим определенный интеграл

методом прямоугольников (входящих) и методом трапеций.

На отрезке [a, b] построим разностную сетку

и создадим таблицу по образцу рис.4.7.

1. В ячейки В1, В2 и D1 введем значения нижнего и верхнего пределов интегрирования а, bи количество разбивок n.

2. В ячейке В3 вычислим шаг разбивки h: В3=(В2-В1)/D1.

Рис.4.7.Схема численного интегрирования

3. В столбце А сформируем номер узла следующим образом: А6=0; в ячейку А7 введем формулу А7 =А6+1 и скопируем ее вниз до конца таблицы. (Это позволит в дальнейшем приспособить таблицу для любого значения шага h, т.е. для любого n).

4. В столбце В сформируем значения узлов следующим образом: xi+1=xi+h, i=0,1,2,…. Введем в ячейку В6 значение а, т.е. B6=B1. В ячейку В7 запишем формулу B7=B6+$B$3 и скопируем ее вниз до значения нижнего предела интегрирования b.

5. В столбце С формируем значения подынтегральной функции f(x) в узлах сетки. Для этого в ячейку С6 введем формулу С6=В6*В6 и скопируем ее вниз.

6. В столбцах D и E накапливаются результаты суммирования в соответствии с формулами (4.8), (4.11). Для этого обнулим ячейки D6 и E6. В ячейки D7 и E7 запишем формулы численного интегрирования:

и скопируем их вниз до конца таблицы.

Приближенные значение интеграла (интегральные суммы) получены в ячейках D16 и E16 по методу прямоугольников и трапеций соответственно.

В данном случае не составляет труда найти точное значение этого интеграла:

и сравнить с полученными результатами.

Изменяя значения ячеек В1, В2 (пределы интегрирования а и b),D1 (количество разбивок n), С6 (формула подынтегральной функции f(x)), можно использовать эту схему для вычисления любого определенного интеграла с необходимой точностью.

n Например. Уменьшим шаг разбивки (количество разбивок при этом увеличилось вдвое, n=20), т.е. введем в ячейку D1 величину 20. Выделим последнюю строку таблицы на рис 4.7 и копируем ее вниз до значения b=2. Мы получим приближенное значение интеграла с шагом h=0,05.

Аналогичным образом можно изменять и другие параметры.

G Замечание. Из рис. 4.3, 4.4, 4.5 видно, что численное интегрирование может сопровождаться значительными погрешностями. Для снижения погрешности следует уменьшить шаг разбивки h, либо использовать более точные методы.

Контрольные вопросы

1. Геометрический смысл определенного интеграла. Когда возникают задачи численного интегрирования.

2. Идея численного интегрирования. Понятие интегральной суммы.

3. Оценка погрешности численного интегрирования. Метод половинного шага.

4. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Геометрическая интерпретация методов численного интегрирования.

5. Сравнение численных методов интегрирования между собой.

Глава 5.

Аппроксимация

«Аппроксимация (от лат. Approximoприближаюсь) – замена одних матема-тических объектов другими, близкими к исходным»

Задачи аппроксимации

Большинство численных методов основаны на замене одной функции f(x) (известной или неизвестной) другой функцией j(х), близкой к f(x). Как правило, функция j(х) обладает «хорошими» свойствами и является «удобной» при аналитических и вычислительных операциях.

Такую замену называют аппроксимацией или попросту – приближением функции f(x) функциейj(х).

Функцию j(х) называют приближением или аппроксимирующей функцией.

Таким образом, задача о приближении (аппроксимации) функции f(x) функциейj(х) состоит в построении функцииj(х) близкой (в некотором смысле) к функции f(x) на заданном отрезке [a,b], т.е.

Для решения этой задачи необходимо ответить на ряд вопросов, а именно:

1. Что известно о функции f(x). Задана она аналитически или таблицей своих значений, какова степень ее гладкости.

2. Какую функцию j(х) выбрать в качестве аппроксимирующей функции.

3. Что понимать под близостью между функциями f(x) иj(х), т.е. какова степень приближения (5.1).

Термин близости (отклонения) двух функций понимается по-разному в зависимости от обстоятельств. При этом мы получаем различные задачи теории приближения, из которых рассмотрим две, а именно: интерполирование и среднеквадратичное приближение.

При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Читайте также:  Error printer halted kill called

Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.

Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

Площадь под кривой y = f ( x ) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y =f ( x ). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.

Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.

Определение тепловой энергии.

Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.

Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Следите за анонсами, многим, я думаю, это будет интересно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi .

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i , измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

Читайте также:  Как отключить сим на айфон

3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i , поступающего на вход коллекторов.

4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c =1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G =0,02031 кг/с, определяем мощность установки Ni в КВт в каждый из моментов времени в столбце F

Ni = c * G * dti

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день

Q =Σ Qi =10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона

Q =Σ Qj =10,395 КВт*час

Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!

Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.

По методу трапеций: Q =10,220 КВт*час (-1,684%)

По методу Симпсона: Q =10,309 КВт*час (-0,827%)

Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.

Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!

Отзывы и комментарии к статье, уважаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи. Введите адрес своей электронной почты, нажмите на кнопку «Получать анонсы статей» и подтвердите подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту. С этого момента к вам на почтовый ящик будет пару раз в месяц приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

Классы: 10 , 11

Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Численное интегрирование», применяя возможности MS Excel по вычисление определенных интегралов методом трапеции. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Задачи урока:

  • Образовательные – совершенствование умений студентов при вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
  • Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
  • Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия.

Тип урока: комбинированный урок.

Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.

Оборудование урока:

  • Компьютеры с OS MS Windows;
  • Программа Microsoft Excel;
  • Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
  • Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Читайте также:  Как записать флешку для магнитолы

Структура урока:

1.Актуализация знаний:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач интегрирования и методики решения;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма вычисления определенных интегралов методом трапеции;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.

На прошлых уроках мы с Вами изучили приближенное вычисление определенных интегралов, выделили методы их решения и решали данные интегралы ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при вычислении определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.

— В чем заключается вычисление интеграла?

— Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница . Ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае подынтегральной функции. Поэтому применяют численные методы, позволяющие найти приближенное значение исходного интеграла с заданной точностью.
— Общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию какой-либо другой функцией , для которой интеграл вычисляется аналитически.

— Тогда для решения задачи строим с оценкой погрешности , и приближенно с очевидной оценкой погрешности .

— Введем на отрезке сетку , , где , и таблицу значений , .

— Рассмотрим простой вариант построения функции , приводящий к формуле трапеций.

— При этом функция строится как кусочно-линейная интерполяция значений , на равномерной сетке с шагом .

=.

— Формулы такого рода () называют механическими квадратурами, – коэффициентами (весами) квадратуры, – ее узлами.

Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции . Если она на имеет первую производную, ограниченную числом , то , и погрешность формулы трапеций не превосходит . Если на имеет вторую производную, ограниченную числом , то погрешность формулы итераций не превосходит , поскольку .

Теоретические оценки погрешностей не всегда применяются. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью , то мало кто сначала оценит третью производную функции и вычислит шаг сетки . Эта оценка и значение константы завышены. Кроме того, само вычисление может быть трудным, особенно если задана некоторым сложным образом.

Поэтому, вычисляя интеграл с небольшим числом узлов , получают его значение ; вычисляя интеграл с удвоенным , получают . Если модуль (где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют и т.д. Для гладких функций часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.

— Объясните алгоритм вычисления интеграла различными методами?

2. Применение знаний, формирование умений и навыков

Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»

Состав задания:

  1. Ознакомиться с теоретической частью задания;
  2. Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
  3. Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
    — постановку задачи;
    — алгоритм расчета;
    — таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
    — результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание:

  1. Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x 4 ) 1/2 на отрезке [0; 4]
    по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
  2. Представьте графически поставленную задачу.

Постановка задачи:

Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.

Таблица Исходная информация

Ссылка на основную публикацию
Как поставить пароль на ярлык
Стандартными средствами Windows ограничить доступ к папке нельзя, следовательно, для установки пароля к файлам нужно обращаться к сторонним программным продуктам....
Как поменять sid компьютера windows 10
Как узнать SID компьютера за минуту Как узнать SID компьютера за минуту Добрый день! Уважаемые читатели и гости IT блога...
Как поменять сенсу в windows 10
Всем привет! Из этого поста вы узнаете, как настроить чувствительность мыши на Виндовс 10 для игр и работы, а также...
Как разобрать лейку damixa
Как приятно после тяжелого трудового дня прийти домой и принять расслабляющий душ. Однако иногда возникают ситуации, когда душевая лейка перестает...
Adblock detector