Как узнать катеты если известна гипотенуза

Как узнать катеты если известна гипотенуза

Свойства

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и угол α, то можно сразу вычислить катеты и угол β из свойства суммы углов треугольника и отношений синуса и косинуса. (рис. 79.1) β=90°-α a=c sin⁡α b=c cos⁡α

Периметр, заданный суммой катетов и гипотенузы, можно представить в виде суммы известной гипотенузы и выраженных через нее катетов. P=a+b+c=c sin⁡α+c cos⁡α+c=c(sin⁡α+cos⁡α+1)

Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, чтобы рассчитать площадь через гипотенузу и угол α, необходимо также заменить неизвестные на соответствующие выражения. S=ab/2=(sin⁡α cos⁡α)/2

Треугольник, в котором один угол прямой, будет иметь всего одну высоту, опущенную на гипотенузу. Из любого внутреннего прямоугольного треугольника, полученного с помощью дополнительного построения высоты, можно выразить ее, как произведение катета и синуса угла. (рис. 79.2) h=b sin⁡α=c cos⁡α sin⁡α

Найти медиану прямоугольного треугольника проще всего, если она опущена на гипотенузу, в таком случае она будет равна ее половине. Медианы катетов вычисляются по стандартным формулам с заменой переменных через гипотенузу. (рис.79.3) m_с=c/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4 〖c^2 sin^2〗⁡α+〖c^2 cos^2〗⁡α )/2=(с√(3 sin^2⁡α+1))/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4 〖c^2 cos〗^2⁡α+sin^2⁡α )/2=(с√(3 cos^2⁡α+1))/2

Рассчитать биссектрисы прямоугольного треугольника тоже достаточно просто, если использовать специальные формулы, зная гипотенузу и угол α. Преобразуя выражения, можно упростить их до следующих тождеств. (рис. 79.4) l_с=(ab√2)/(a+b)=(c sin⁡α cos⁡α √2)/(sin⁡α+cos⁡α ) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(c cos⁡α √(2c(c cos⁡α+c) ))/(c cos⁡α+c)=(c cos⁡α √(2(cos⁡α+1) ))/(cos⁡α+1) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(c sin⁡α √(2c(c sin⁡α+c) ))/(c sin⁡α+c)=(c sin⁡α √(2(sin⁡α+1) ))/(sin⁡α+1)

Проведенная средняя линия прямоугольного треугольника создает внутри него еще один подобный треугольник в два раза меньше первоначального, поэтому сама она равна половине параллельной ей стороны. (рис. 79.7) M_a=a/2=(c sin⁡α)/2 M_b=b/2=(c cos⁡α)/2 M_c=c/2

Читайте также:  Как снять пароль с телефона теле2

Прямоугольный треугольник может быть вписан в окружность и описан вокруг нее. Радиус вписанной окружности внутри треугольника можно вычислить, сложив катеты за вычетом гипотенузы, и разделив полученное число на два. Рассчитать радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника через гипотенузу еще проще, так как он равен ее половине. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(c sin⁡α+c cos⁡α-c)/2=c/2 (sin⁡α+cos⁡α-1) R=c/2

Калькулятор нахождения стороны прямоугольного треугольника

Какую сторону треугольника нужно посчитать?

Решение

Теория

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.

Катет — это прилежащая прямому углу сторона треугольника.

Гипотенуза — это сторона треугольника противолежащая прямому углу. Гипотенуза является самой длинной стороной треугольника.

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Есть три варианта решения этой задачи. Первый — если в условиях задачи дано, что катеты равны (по сути, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник). Второй — если еще дан какой-то угол (кроме угла в 45%, тогда мы имеем тот же равнобедренный треугольник и возвращаемся к первому варианту). И третий — когда известен один из катетов. Рассмотрим данные варианты подробнее.

Как найти равные катеты, при известной гипотенузе

  • гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
  • первый катет (обозначим его буквой "a") равен второму катету ((обозначим его буквой "b"): a=b;

В этом варианте решение задачи основывается на использовании теоремы Пифагора. Ее применяют к прямоугольным треугольникам и основной ее вариант звучит, как: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Так, как катеты у нас равны, то мы можем обозначать оба катета одним и тем же сиволом: a=b, значит — a=a.

  1. Подставляем наши условные обозначения в теорему (с учетом вышеизложенного):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Далее максимально упрощаем формулу:
    с^2=2*(a^2) — группируем,
    с=√2*а — подносим обе части уравнения к квадратному кореню,
    a=c/√2 — выносим искомое.
  3. Подставлем данное значение гипотенузы и получаем решение:
    a=x/√2
Читайте также:  Как восстановить apple id после удаления

Как найти катеты, при известной гипотенузе и угле

  • гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
  • угол β равный q: β=q;

Для решения этой задачи необходимо использовать тригонометрические функции. Найболее популярны две из них:

  • функция синуса — синус искомого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;
  • функция косинуса — косинус искомого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;

Вы можете использовать любую. Я наведу пример с использованием первой. Пусть катеты у нас обозначаються символами "a" (прилежащий к углу) и "b" (противолежащий к углу). Соответственно наш угол лежит между катетом "a" и гипотенузой.

  1. Подставляем выбранные условные обозначения в формулу:
    sinβ = b/c
  2. Выводим катет:
    b=c*sinβ
  3. Подставляем наши данный и имеем один катет.
    b=c*sinq

Второй катет можно найти воспользовавшись второй тригонометрической функцией, или же перейти к третьему варианту.

Как найти один катет, если известна гипотенуза и другой катет

  • гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
  • катет (обозначим его буквой "b") равен y см: b=y;
  • размер другого катета (обозначим его буквой "a");

В этом варианте решением задачи, как и в первом, является использование теоремы Пифагора.

  1. Подставляем наши условные обозначения в теорему:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Выносим необходимый катет:
    a^2=c^2-b^2
  3. Подносим обе части уравнения к квадратному кореню:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Подставляем данные значения и имеем решение:
    a=√(x^2-y^2)
Ссылка на основную публикацию
Как удалиться из приложения фотострана
Социальная сеть «Фотострана» многим не нравится своей навязчивостью, что также проявляется, когда пользователь желает удалить свой аккаунт. В самой сети...
Как удалить аккаунт на юле с телефона
У пользователей в той или иной ситуации появляется необходимо удаления профиля из какого-либо приложения, причем речь идет о полном удалении...
Как удалить антивирус bitdefender с компьютера
Удаление антивируса Bitdefender через панель управления. Откройте панель управления Windows и, в зависимости от операционной системы, выберите меню "Удаление программ",...
Как удалиться с сайта навечно
На сегодняшний день существует множество сайтов знакомств, и зачастую пользователи регистрируются на нескольких одновременно в поисках интересного общения, новых друзей...
Adblock detector