Какая кривая определена уравнением

Какая кривая определена уравнением

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x 2=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Читайте также:  Как вставить картинку в ворд 2003

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $sqrt<2/5>$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.

Возвратимся к величинам которые изображает точка М. Пусть и у связаны функциональной зависимостью; это значит, что, меняя по произволу х (или у), мы будем получать каждый раз соответствующее значение у (или ). Каждой такой паре значений х и у соответствует определенное положение точки М на плоскости XOY; если же значения эти будут меняться, то точка М будет передвигаться по плоскости и при движении своем опишет некоторую линию (рис. 4), которая называется графическим изображением (или, проще, графиком или диаграммой) рассматриваемой функциональной зависимости.

Читайте также:  Как сделать чернобелую фото в фотошопе

Если зависимость задана аналитически в виде уравнения в явной форме

или в неявной форме

то уравнение это называется уравнением кривой, а кривая — графиком уравнения или графиком функции. Кривая и ее уравнение суть лишь различные способы выражения одной и той же функциональной зависимости, т. е. все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению кривой, лежат на этой кривой и, обратно, координаты всех точек, лежащих на кривой, удовлетворяют ее уравнению.

Если дано уравнение кривой, можно, пользуясь листом графленой бумаги, построить, более или менее точно, самую кривую (вернее, можно построить какое угодно число точек, лежащих на этой кривой); чем больше таких точек построим, тем яснее будет для нас форма кривой; такой способ называется построением кривой по точкам.

Выбор масштаба имеет существенное значение при построении кривых; при этом можно выбирать разные масштабы при построении х и у. При одинаковых масштабах для х и у плоскость уподобляется листу бумаги, разграфленному на квадраты, при разных же масштабах — на прямоугольники. В дальнейшем будет подразу меваться, что масштабы для х и у одинаковы.

Читателям рекомендуется здесь же построить по точкам несколько графиков простейших функций, меняя притом масштабы для х и у.

Введенные выше понятия о координатах точки М, об уравнении кривой и графике уравнения устанавливают тесную связь между алгеброй и геометрией. С одной стороны, мы получаем возможность наглядным геометрическим путем изображать и исследовать аналитические зависимости, с другой стороны, оказывается возможным сводить решение геометрических вопросов к чисто алгебраическим действиям, в чем и заключается основная задача аналитической геометрии, разработанной впервые Декартом.

Ввиду чрезвычайной важности формулируем еще раз факты, лежащие в основе аналитической геометрии. Если на плоскости отметить две координатные оси, то всякой точке плоскости будет соответствовать пара вещественных чисел — абсцисса и ордината этой точки, и, наоборот, всякой паре чисел будет соответствовать определенная точка плоскости, имеющая первое число своей абсциссой и второе число своей ординатой. Кривой на плоскости соответствует функциональная зависимость между х и у, или, что то же, уравнение, содержащее переменные х и у, которое удовлетворяется в том и лишь в том случае, если вместо х и у подставить координаты какой-либо из точек кривой. Наоборот, уравнению, содержащему две переменные х и у, соответствует кривая, состоящая из тех точек плоскости, координаты которых, будучи подставлены вместо и у в уравнение, удовлетворяют ему.

Читайте также:  Как добавить публикацию в инстаграм с компьютера

В дальнейшем мы рассмотрим основные примеры графиков функций, а теперь приведем некоторые общие соображения. Пусть мы имеем уравнение в явной форме: , где однозначная функция, определенная, например, в промежутке , т. е. такая функция, что любому из соответствует одно определенное значение график указанной функциональной зависимости состоит из точек полученных указанным только что способом. Перпендикуляр к оси ОХ, проведенный через любую точку этой оси, абсцисса которой принадлежит встретит график в одной точке (однозначность f <х)). В случае уравнения в неявной форме дело обстоит сложнее. Может случиться, что уравнению не соответствует ни одной точки. Это имеет место, например, для уравнения ибо при любых вещественных и у левая часть положительна. Уравнению соответствует, очевидно, только одна точка (3, 5).

Построение графика совершается автоматически в самопишущих приборах; переменной является обычно время; у — величина, изменение которой с течением времени нас интересует, например барометрическое давление (барограф), температура (термограф). Важное значение имеет индикатор, который записывает зависимость между объемом и давлением газа, заключенного в цилиндре парового или газового двигателя.

Ссылка на основную публикацию
Как установить один кондиционер на две комнаты
Опубликовано Артём в 23.04.2019 23.04.2019 Многие из нас пользуются дома или на работе агрегатами для охлаждения воздуха в помещениях –...
Как узнать характеристики ноута
Доброго дня. Я думаю, что многие при работе за компьютером или ноутбуком сталкивались с безобидным и простым вопросом: «как узнать...
Как узнать характеристики сетевой карты
Здравствуйте, друзья! Тема сегодня общая – я расскажу, как узнать, какая сетевая карта установлена в ваш компьютер. Это понадобится, если...
Как установить обратный клапан для вентиляции
Запахи соседних квартир или домов вряд ли весьма привлекательны, особенно когда жарят рыбу или закипает на плите суп, или если...
Adblock detector