Комплексные числа возведение в степень примеры

Комплексные числа возведение в степень примеры

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
.

Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень?

З необходимо использовать тригонометрическую форму комплексного числа и, так называемую, формулу Муавра:

Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

8.5.Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями


Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Корни извлекаются соответствующим образом:

, , , , и т.д.

Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Задание на Дом:

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ (для тех, кто не был на первой лекции и не делал домашнее задание):

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9373 — | 7430 — или читать все.

Формула

Возводить в степень комплексные числа легко в показательной или тригонометрической форме. Если комплексное число в алгебраической форме, то необходимо его перевести в любую из вышеперечисленных форм.

Читайте также:  Видеокарта nvidia geforce gtx 960 2gb

Формула возведения в степень комплексного числа в показательной форме:

Формула возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме:

$$ z^k = r^k (cos kvarphi + isin kvarphi), k in N $$

Примеры решений

Используя формулу возводим в квадрат модуль и экспоненту:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Возвести в квадрат комплексное число $$ z = sqrt<2>e^<frac<pi><2>i> $$
Решение
Ответ
$$ z^2 = 2e^ <pi i>$$

Возвести в третью степень комплексное число, записанное в алгебраической форме:

Так как комплексное число представлено в алгебраической форме, а выполнять возведение в степень комплексного числа удобно в тригонометрической форме, то сначала выполним перевод из алгебраической формы в тригонометрическую.

Записываем число в тригонометрической форме:

Находим третью степень числа:

$$ z^3 = 2^3(cos (3 cdot frac<pi><3>)+isin (3 cdot frac<pi><3>)) = 8 (cos pi + isin pi) $$

Приводим назад к алгебраической форме:

$$ z^3 = 8 (-1 + i cdot 0) = 8 cdot (-1+0) = -8 $$

Рассмотрим на примере:

Возведем в квадрат комплексное число: .

Этот пример можно решить 2-мя способами, 1-й способ: перепишем степень как произведение множителей: и перемножим числа по правилу умножения многочленов.

2-й способ: применение формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа очень просто вывести формулу сокращенного умножения:

.

Такую же формулу просто вывести для квадрата разности и для куба суммы и куба разности.

Если комплексное число необходимо возвести в пятую, десятую либо сотую степень, то здесь нужно воспользоваться тригонометрической формой комплексного числа и формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень n верна формула:

Есть комплексное число , найдем z 20 .

Для начала необходимо представить это число в тригонометрической форме:

Тогда, по формуле Муавра:

Не нужно считать на калькуляторе , а угол в основном числе случае лучше упростить, т.е. необходимо избавиться от лишних оборотов. Один оборот равен радиан либо 360 градусов.

Вычислим сколько оборотов в аргументе . Что бы было удобнее, сделаем дробь правильной:

,

Теперь видим, что можно избавиться от одного оборота: . Видим, что и – это один и тот же угол.

Т.о., итоговый результат записываем так:

Для более стандартного вида, запись можно представить так:

(то есть избавиться от еще одного оборота и получить значение аргумента в стандартном виде).

Еще можно представить в таком виде:

Если мнимую единицу возводить в четную степень, то методика решения такая:

Если мнимую единицу возводить в нечетную степень, то убираем одно i и получаем четную степень:

Если есть минус (либо всякий действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 2
Решение
Ссылка на основную публикацию
Ключ для word windows 10
Рано или поздно любой пользователь может столкнуться с проблемой поиска ключа Office. Конечно, если лицензия на него приобретена, то таких...
Калибровка монитора macbook pro
Сервисный центр MacPlus (ремонт Apple) раскрывает секреты калибровки дисплея iMac и Macbook Вы замечали, что одни и те же изображения...
Калькулятор градусов и минут сложение и вычитание
Калькулятор, поддерживающий основные арифметические действия над выражениями с градусами. Создан по запросу пользователя. Этот калькулятор выполняет арифметические действия над градусами....
Ключ для эксель 365 лицензионный ключ бесплатно
Еще несколько лет назад компаня Майкрософт планировала свой пакет продавать вместе уже с компьютерами, как сейчас происходит с операционной системой...
Adblock detector