Конус вписанный в шар формулы

Конус вписанный в шар формулы

Знание — сила. Познавательная информация

Конус, вписанный в шар

Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.

Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.

При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).

Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).

Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Рассмотрим конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB=l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB=r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.

Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS=α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF=l/2.

При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников

В прямоугольном треугольнике SOB ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора

В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.

Если продлить SO до пересечения с окружностью, получим прямоугольный треугольник SBM (∠SBM=90º как вписанный угол, опирающийся на диаметр SM). В нем BO- высота, проведенная к гипотенузе. По свойствам прямоугольного треугольника

Москва

Шар, описанный около цилиндра

Шар называется описанным около цилиндра, если окружности его оснований принадлежат поверхности шара.

осевое сечение Обозначения: AO = R, AB = 2R, BC = H, AD = r. В прямоугольном треугольнике AOD

Около цилиндра всегдаможно описать шар, так как всегда можно описать окружность около прямоугольника.

Центр описанного шара лежит в точке пересечения диагоналей осевого сечения цилиндра – центре окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.

Шар, вписанный в цилиндр

R

Шар называется вписанным в цилиндр, если он касается всех образующих и обоих оснований цилиндра.

Обозначения:

Шар можно вписать в цилиндр тогда и только тогда, когда цилиндр является равносторонним, то есть его осевое сечение – квадрат.

Читайте также:  Dt9205a калибровка какой резистор за что отвечает

Шар касается оснований цилиндра в их центрах, а образующих цилиндра – по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси цилиндра, а радиус равен радиусу оснований цилиндра.

Центр шара – середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, центр квадрата его осевого сечения.

Шар, описанный около конуса

Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и все точки окружности основания конуса лежат на поверхности шара.

Обозначения:
1. ΔADB – прямоугольный: 2. ΔAКВ – прямоугольный:

Около конуса всегда можно описать шар, так как около осевого сечения конуса (равнобедренный треугольник) можно всегда описать окружность.

Центр шара – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника осевого сечения. Центр шара может лежать внутри конуса, если угол между образующими в осевом сечении конуса – острый, вне конуса, если этот угол тупой, и в центре основания конуса, если этот угол прямой.

Шар, вписанный в конус.

Шар называется вписанным в конус, если он касается всех образу-ющих конуса и основания конуса.

Обозначения:

1. ΔAСD – прямоугольный:

2. ΔОDB – прямоугольный:

3. ΔAОК – прямоугольный: 4. ΔОЕК – прямоугольный:

В конус всегда можно вписать шар, так как в осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник — можно всегда вписать окружность.

Центр шара — точка пересечения биссектрис треугольника осевого сечения.

Шар касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности конуса по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси конуса.

Шар, описанный около усеченного конуса.

Шар называется описанным около усечённого конуса, если все

точки окружностей оснований конуса лежат на поверхности шара.

Обозначения:
1. ΔABК – прямоугольный: 2. ΔОМС и ΔОND – прямоугольные:
3. ΔBAD – прямоугольный: 4. ΔBКD – прямоугольный:

Около усеченного конуса всегда можно описать шар, центр которого является центром окружности, описанной около равнобедренной трапеции, являющейся осевым сечением усечённого конуса.

Центр шара лежит на оси усечённого конуса и может находиться внутри конуса, вне его и в центре большего основания конуса.

Шар, вписанный в усеченный конус.

Шар называется вписанным в усечённый конус, если он касается всех образующих и обоих оснований усечённого конуса.

Обозначения:
1. 2. ΔAВТ – прямоугольный: 3. ΔОМС – прямоугольный:
4. ΔОЕК – прямоугольный: 5. ΔСОD – прямоугольный: 6. ΔОND – прямоугольный:

Шар можно вписать в усеченный конус тогда и только тогда, когда в его осевое сечение можно вписать окружность, то есть если сумма радиусов верхнего и нижнего оснований усеченного конуса равна длине образующей этого конуса. Центр шара — точка пересечения биссектрис углов трапеции осевого сечения.

Читайте также:  Как поменять цвет часов на андроиде

Шар касается оснований конуса в их центрах, а боковой поверхности конуса по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси конуса.

Цилиндр, конус, шар

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая $L$.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

  1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
  2. Все образующие цилиндра параллельны и равны.
  3. Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
  4. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
  5. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
  6. Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
  7. Если высоту цилиндра увеличить в m раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
  8. Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
  9. Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
  10. Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.

Площадь поверхности и объем цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V=<πR^2·n°·h>/<360>$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен $30$. Найдите объём шара.

Если в цилиндр вписан шар, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра в два раза больше радиуса шара.

Распишем формулы объема цилиндра и шара.

Далее надо сравнить во сколько раз объем цилиндра больше объема шара, для этого разделим объемы друг на друга.

Объем цилиндра больше объема шара в $1.5$ раза, следовательно, чтобы найти объем шара, надо объем цилиндра разделить на $1.5$.

Конусом (круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

Читайте также:  Какая республика в россии парламентская или президентская

$SО$ — высота и ось конуса.

  1. Все образующие конуса равны.
  2. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.
  3. Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$.
  4. Если радиус или диаметр конуса увеличить в n раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз.
  5. Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

Объем части конуса, в основании которого лежит сектор: $V=<πR^2·n°·h>/<360·3>$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ($R$) от данной точки (центра сферы $О$).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Площадь поверхности сферы: $S_<п.п>=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы

Объем шара: $V=<4π·R^3>/<3>=<π·d^3>/<6>$, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара.

Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$
$cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$
$tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$

Признаки подобия треугольников:

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Ссылка на основную публикацию
Компы от hyper pc
Когда в одном системном блоке объединяются все самые мощные технологии, присущие центральным и графическим процессорам, это и есть энергия компьютеров...
Ключ для word windows 10
Рано или поздно любой пользователь может столкнуться с проблемой поиска ключа Office. Конечно, если лицензия на него приобретена, то таких...
Ключ для эксель 365 лицензионный ключ бесплатно
Еще несколько лет назад компаня Майкрософт планировала свой пакет продавать вместе уже с компьютерами, как сейчас происходит с операционной системой...
Компрессор для велосипеда 220 вольт
Насос электрический Bravo 220/2000 Насос электрический (220 В) Intex 66620 Насос электрический 220V/12V сеть/прикуриват, д/колёс,м. Насос Intex 220/12 В 66632...
Adblock detector