Координаты вершин правильного тетраэдра

Координаты вершин правильного тетраэдра

Пирамиды традиционно считаются сложными фигурами в задаче C2. А уж если в основании пирамиды лежит треугольник (т.е. пирамида становится тетраэдром), то все становится совсем грустно. В общем, если в ЕГЭ по математике вам попадется правильный тетраэдр, примите мои поздравления: это самая мерзкая и сложная фигура, которая встречается на настоящем экзамене.

Тем не менее, после небольшой тренировки все становится вполне решаемо. И в этом уроке мы пошагово разберем каждую вершину тетраэдра и найдем каждую координату. Вы убедитесь: все, что нам действительно надо знать — это две теоремы:

  1. Теорема Пифагора — без нее не решается вообще ни одна задача C2, потому что на этой теореме построена сама идея декартовой системы координат;
  2. Теорема о медианах. А именно: медианы треугольника пересекаются в одно точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Вот и весь список! Вы знаете эти теоремы? Тогда поехали!

Задача. В правильном тетраэдре SABC , все ребра которого равны 1, введите систему координат и найдите координаты вершин.

[Подпись к рисунку]

Решение задач С2 из методом координат.

Люди делятся по своим наклонностям на два

типа: одним больше нравятся выкладки, другим —

Прасолов В.В., Тихомиров В.М.

Из предисловия к книге «Геометрия»

Применение координатного метода в стереометрии чаще всего встречается в задачах на нахождение угла между двумя прямыми. Между тем возможности его намного шире. В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ. Этим методом легко решаются задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями, расстояния от прямой до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми.

Читайте также:  Qnap не виден в сетевом окружении

Как показывает практика, этот метод доступен учащимся даже с недостаточно развитым пространственным воображением, что позволяет повысить уровень их подготовки к ЕГЭ.

Что же требуется, чтобы освоить пространственный метод координат?

Во – первых, знание определенных формул; во – вторых, умение вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях.

Формулы и методы решения.

Угол между прямыми.

Вектор лежит на прямой а, вектор лежит на прямой b. Косинус угла между прямыми a и b определяется по формул

(1)

( 0, так как угол — острый ).

Угол между прямой и плоскостью.

Прямая Ɩ образует с плоскостью α угол ( 90˚). Вектор ( ) – направляющий вектор прямой Ɩ .

Плоскость α задана уравнением

и — вектор нормали. Синус угла определяется по формуле

. (2)

Угол между двумя плоскостями.

Плоскость α задана уравнением

и ее вектор нормали ; плоскость задана уравнением ее вектор нормали . Для угла

между плоскостями α и справедлива формула

(3)

( 0, так как угол — острый ).

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние h от точки до плоскости α, заданной уравнением определяется по формуле

. (4)

Расстояние между двумя точками.

Расстояние d между двумя точками, , равно

. (5)

Координаты вершин многогранников.

Определим координаты вершин некоторых многогранников.

1. Единичный куб А…D1 .

2. Правильная треугольная призма АВСA1B1C1, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось x; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось y; прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( А1(0;0;1), В1(1;0;1),С1(

3. Правильная шестиугольная призма А…F1, все ребра которой равны 1.

Читайте также:  Как добавлять песни в контакте

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты:А(0;0;0), В(1;0;0), С( D(1; , Е(0; , F( ; ), А1(0;0;1), В1(1;0;1), С1( D1(1; , Е1(0; , F1( ; ).

На выносном чертеже основания АD = BE = CF = 2R = 2; R – радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника; R = 1; АЕ =

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины тетраэдра имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( D( . Точка D проектируется в точку О – точку пересечения медиан треугольника АВС , которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Высота тетраэдра DO выражается из прямоугольного треугольника АОD: DA = 1, AO = DO =

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая АD – ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С(1;1;0), D(0;1;0), S( Точка S проектируется на плоскость АВС в точку пересечения диагоналей квадрата АВСD – точку О. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS: SO = , SA = 1, AO =

SO =

6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

Начало координат в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( D(1; 0), Е(0; ; 0), F( ; Точка S проектируется на плоскость АВС в точку О – точку пересечения диагоналей шестиугольника АВСDEF. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS:

Читайте также:  Лучшие приложения с дополненной реальностью

SO = , SA = 2, AO = 1, SO = .

Примеры решения задач.

Угол между прямыми.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке. Найдем координаты точки Е(1;1; ) и координаты направляющих векторов прямых A1D и D1E: , = .

Косинус угла между прямыми А1D и D1E определяется по формуле (1):

= ,

Ответ:

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Ссылка на основную публикацию
Компы от hyper pc
Когда в одном системном блоке объединяются все самые мощные технологии, присущие центральным и графическим процессорам, это и есть энергия компьютеров...
Ключ для word windows 10
Рано или поздно любой пользователь может столкнуться с проблемой поиска ключа Office. Конечно, если лицензия на него приобретена, то таких...
Ключ для эксель 365 лицензионный ключ бесплатно
Еще несколько лет назад компаня Майкрософт планировала свой пакет продавать вместе уже с компьютерами, как сейчас происходит с операционной системой...
Компрессор для велосипеда 220 вольт
Насос электрический Bravo 220/2000 Насос электрический (220 В) Intex 66620 Насос электрический 220V/12V сеть/прикуриват, д/колёс,м. Насос Intex 220/12 В 66632...
Adblock detector