Координаты вершин правильной шестиугольной призмы

Координаты вершин правильной шестиугольной призмы

Решение задач С2 из методом координат.

Люди делятся по своим наклонностям на два

типа: одним больше нравятся выкладки, другим —

Прасолов В.В., Тихомиров В.М.

Из предисловия к книге «Геометрия»

Применение координатного метода в стереометрии чаще всего встречается в задачах на нахождение угла между двумя прямыми. Между тем возможности его намного шире. В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ. Этим методом легко решаются задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями, расстояния от прямой до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми.

Как показывает практика, этот метод доступен учащимся даже с недостаточно развитым пространственным воображением, что позволяет повысить уровень их подготовки к ЕГЭ.

Что же требуется, чтобы освоить пространственный метод координат?

Во – первых, знание определенных формул; во – вторых, умение вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях.

Формулы и методы решения.

Угол между прямыми.

Вектор лежит на прямой а, вектор лежит на прямой b. Косинус угла между прямыми a и b определяется по формул

(1)

( 0, так как угол — острый ).

Угол между прямой и плоскостью.

Прямая Ɩ образует с плоскостью α угол ( 90˚). Вектор ( ) – направляющий вектор прямой Ɩ .

Плоскость α задана уравнением

и — вектор нормали. Синус угла определяется по формуле

. (2)

Угол между двумя плоскостями.

Плоскость α задана уравнением

и ее вектор нормали ; плоскость задана уравнением ее вектор нормали . Для угла

между плоскостями α и справедлива формула

(3)

( 0, так как угол — острый ).

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние h от точки до плоскости α, заданной уравнением определяется по формуле

. (4)

Расстояние между двумя точками.

Расстояние d между двумя точками, , равно

. (5)

Координаты вершин многогранников.

Определим координаты вершин некоторых многогранников.

1. Единичный куб А…D1 .

2. Правильная треугольная призма АВСA1B1C1, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось x; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось y; прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( А1(0;0;1), В1(1;0;1),С1(

3. Правильная шестиугольная призма А…F1, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты:А(0;0;0), В(1;0;0), С( D(1; , Е(0; , F( ; ), А1(0;0;1), В1(1;0;1), С1( D1(1; , Е1(0; , F1( ; ).

На выносном чертеже основания АD = BE = CF = 2R = 2; R – радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника; R = 1; АЕ =

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины тетраэдра имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( D( . Точка D проектируется в точку О – точку пересечения медиан треугольника АВС , которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Высота тетраэдра DO выражается из прямоугольного треугольника АОD: DA = 1, AO = DO =

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая АD – ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С(1;1;0), D(0;1;0), S( Точка S проектируется на плоскость АВС в точку пересечения диагоналей квадрата АВСD – точку О. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS: SO = , SA = 1, AO =

Читайте также:  Как настроить каналы на телевизоре фьюжен

SO =

6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

Начало координат в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( D(1; 0), Е(0; ; 0), F( ; Точка S проектируется на плоскость АВС в точку О – точку пересечения диагоналей шестиугольника АВСDEF. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS:

SO = , SA = 2, AO = 1, SO = .

Примеры решения задач.

Угол между прямыми.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке. Найдем координаты точки Е(1;1; ) и координаты направляющих векторов прямых A1D и D1E: , = .

Косинус угла между прямыми А1D и D1E определяется по формуле (1):

= ,

Ответ:

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

  1. Начало координат — в точке A;
  2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
  3. Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA1.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка A B C D
Координаты (0; 0; 0) (1; 0; 0) (1; 1; 0) (0; 1; 0)
Точка A1 B1 C1 D1
Координаты (0; 0; 1) (1; 0; 1) (1; 1; 1) (0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B1 = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

  1. Начало координат — в точке A;
  2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
  3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Читайте также:  451 Temporary local problem please try later

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C1. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемЛюдмила Дворжецкая

Похожие презентации

Презентация на тему: " Решение заданий С 2 координатно- векторным методом." — Транскрипт:

1 Решение заданий С2 координатно- векторным методом.

2 Координаты вершин многогранников Определите координаты вершин многогранников: 1. Единичный куб A. D 1

Читайте также:  Двигатель ауди 80 схема

3 Координаты вершин многогранников Координаты вершин: А (0,0,0), А 1 (0,0,1), В(1,0,0), В 1 (1,0,1), D(0,1,0), D 1 ( 0,1,1), С(1,1,0), С 1 (1,1,1).

4 2. Правильная треугольная призма A…C 1, все ребра которой равны 1.

5 А (0,0,0), А 1 (0,0,1), В(1,0,0), В 1 (1,0,1), С(0,5; ;0), С 1 (0,5; ;1). Координаты вершин:

6 3. Правильная шестиугольная призма A. F 1, все ребра которой равны 1.

7 Координаты вершин: А(0,0,0), А 1 (0,0,1) F(- 0,5; ;0), В(1,0,0) С(1,5; ;0), Е(0,,0)

8 4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

9 Координаты вершин: А (0;0;0), В(1;0;0), С(0;5;, 0), D(0,5, )

10 5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

11 координаты вершин А (0,0,0), В(1,0,0), С(1,1,0), D(0,1,0), S(0,5;0,5; ).

12 6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

13 Координаты вершин: А(0;0;0), В(1;0;0), С(1;1;0), D(1; ;0) Е(0; ;0) F(-05; ;0), S(0,5; ; ).

14 1.1. В единичном кубе A. D 1 найти угол между прямыми AB 1 и BC 1. Примеры решения задач. 1. Угол между прямыми

15 1.2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AD 1 и CE 1, где D 1 и E 1 соответственно середины ребер A 1 C 1 и B 1 C 1.

16 2.1. В правильной шестиугольной призме A. F 1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью BCC 1. Примеры решения задач. 2. Угол между прямой и плоскостью

17 2.2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где E середина ребра SC.

18 3.1. В правильной шестиугольной призме A. F 1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью BCC 1. Примеры решения задач. 3. Угол между двумя плоскостями

19 3.2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между плоскостями ACB 1 и BA 1 C 1.

20 4.1. В единичном кубе A. D 1 найти расстояние от точки A до прямой BD 1. Примеры решения задач. 4. Расстояние от точки до прямой

21 4.2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти расстояние от точки F до прямой BG, где G середина ребра SC.

22 5.1. В единичном кубе A. D 1 найти расстояние от точки A до плоскости BDA 1. Примеры решения задач. 5. Расстояние от точки до плоскости

23 5.2. В правильной шестиугольной призме A. F 1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до плоскости BFE 1.

24 6.1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми SA и BC. Примеры решения задач. 6. Расстояние между двумя прямыми

25 6.2. В единичном кубе A. D 1 найти расстояние между прямыми AB 1 и BC 1.

26 Пример 1. В кубе A. D 1, ребро которого равно 4, точки E и F середины ребер AB и B 1 C 1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP = 3PD. Найти расстояние от точки A 1 до плоскости треугольника EFP.

27 Пример 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна, а боковое ребро равно 10. Найти угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.

28 Пример 3. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна высота пирамиды DO = 6. Точки A 1, C 1 середины ребер AD и CD соответственно. Найти расстояние между прямыми BA 1 и AC 1

Ссылка на основную публикацию
Компы от hyper pc
Когда в одном системном блоке объединяются все самые мощные технологии, присущие центральным и графическим процессорам, это и есть энергия компьютеров...
Ключ для word windows 10
Рано или поздно любой пользователь может столкнуться с проблемой поиска ключа Office. Конечно, если лицензия на него приобретена, то таких...
Ключ для эксель 365 лицензионный ключ бесплатно
Еще несколько лет назад компаня Майкрософт планировала свой пакет продавать вместе уже с компьютерами, как сейчас происходит с операционной системой...
Компрессор для велосипеда 220 вольт
Насос электрический Bravo 220/2000 Насос электрический (220 В) Intex 66620 Насос электрический 220V/12V сеть/прикуриват, д/колёс,м. Насос Intex 220/12 В 66632...
Adblock detector