Критерий коши для чайников

Критерий коши для чайников

Условие Коши

Последовательность < xn > удовлетворяет условию Коши, если для любого положительного действительного числа ε > 0 существует такое натуральное число Nε , что
(1) |xn – xm| при n > Nε , m > Nε .

Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями.

Условие Коши можно представить и в другом виде. Пусть m > n . Если m , то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Здесь p – натуральное число.

Тогда условие Коши можно сформулировать так:

Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что
(2) при и любых натуральных p .

Число , фигурирующее в условии Коши, зависит от ε . То есть оно является функцией от действительной переменной ε , областью значений которой является множество натуральных чисел. Число также можно записать в виде , как это принято для обозначения функций.

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность сходится к конечному пределу a :
.
Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого выполняется неравенство:
(1.1) при .
См. Определение предела последовательности.

Покажем, что последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑. Для этого нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого , выполняются неравенства:
при .
Воспользуемся свойствами неравенств и применим (1.1):
.
Последнее неравенство выполняется при .

Заменим на . Тогда для любого имеем:
при ,
где .

Доказательство достаточности

Пусть последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑. Докажем, что она сходится к конечному числу. Доказательство разделим на три части. Сначала докажем, что последовательность ограничена. Затем применим теорему Больцано – Вейерштрасса, согласно которой у ограниченной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к конечному числу. И наконец, покажем, что к этому числу сходится вся последовательность.

Читайте также:  Как взломать замок навесной

Докажем, что последовательность , удовлетворяющая условию Коши (1) ⇑, ограничена. Для этого, в условии Коши, положим . Тогда существует такое натуральное число , при котором выполняются неравенства:
(2.1.1) при .

Возьмем любое натуральное число и зафиксируем член последовательности . Обозначим его как , чтобы подчеркнуть, что это постоянное, не зависящее от индекса n число.

Подставляем в (2.1.1) и выполняем преобразования. При имеем:
;
;
;
;
.
Отсюда видно, что при , члены последовательности ограничены. Поскольку, при , имеется только конечное число членов, то и вся последовательность ограничена.

Применим теорему Больцано – Вейерштрасса. Согласно этой теореме, у ограниченной последовательности, существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому конечному числу a . Обозначим такую подпоследовательность как . Тогда
.

Покажем, что к числу a сходится вся последовательность.
Поскольку последовательность удовлетворяет условию Коши (1) ⇑, то имеется некоторая функция , при которой для любого выполняются неравенства:
при .
В качестве возьмем член сходящейся подпоследовательности и заменим ε 1 на ε /2 :
(2.3.1) при .

Зафиксируем n . Тогда (2.3.1) является неравенством, содержащим последовательность , у которой исключено конечное число первых членов с . Конечное число первых членов не влияет на сходимость (см. Влияние конечного числа членов на сходимость последовательности). Поэтому предел при усеченной последовательности по прежнему равен a . Применяя свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметические свойства пределов, при , из (2.3.1) имеем:
при .
Воспользуемся очевидным неравенством: . Тогда
при .

То есть для любого существует натуральное число , так что
при .
Это означает, что число a является пределом всей последовательности (а не только ее подпоследовательности .

Использованная литература:
О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 13-01-2018

Следующее необходимое и достаточное условие позволяет судить о сходимости последовательности без нахождения предела, лишь по расстоянию между последующими членами последовательности.

Читайте также:  Explay informer 702 прошивка

Критерий Коши. Последовательность fx n g сходится тогда и только тогда, когда

8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N; 8 p 2 N jx n+p x n j 1 ), называют ф у н д а м е н т а л ь — н о й или п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю К о ш и.

Поскольку критерий Коши это необходимое и достаточное условие сходимости последовательности, это означает, что если

9 " > 0 8 N 2 N : 9 n > N; 9 p 2 N : ja n+p a n j ";

то последовательность fa n g расходится.

Пример 1. ( 82) Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

x n = a 0 + a 1 q + : : : + a n q n ; ãäå ja k j n+p = a 0 + a 1 q + : : : + a n q n + a n+1 q n+1 + : : : + a n+p q n+p ;

jx n+p x n j = ja n+1 q n+1 + : : : + a n+p q n+p j ja n+1 jjq n+1 j + : : : + ja n+p jjq n+p j

Mjqj n+1 (1 + : : : + jqj p 1 ) n+1 (1 + : : : + jqj p 1

Ссылка на основную публикацию
Красивые прайс листы шаблоны
Автор: admin Дата записи Ознакомиться с ценами на услуги вашего салона красоты, клиенты могут с помощью прайс листа. Следующие шаблоны...
Компы от hyper pc
Когда в одном системном блоке объединяются все самые мощные технологии, присущие центральным и графическим процессорам, это и есть энергия компьютеров...
Компрессор для велосипеда 220 вольт
Насос электрический Bravo 220/2000 Насос электрический (220 В) Intex 66620 Насос электрический 220V/12V сеть/прикуриват, д/колёс,м. Насос Intex 220/12 В 66632...
Красивые фото девушек на аву без лица
Бывает такое, что старая аватарка уже надоела, а свежих классных фоток нет. На помощь придут красивые картинки девушек на аву....
Adblock detector