Кусочно линейная функция примеры

Кусочно линейная функция примеры

Кусочно-заданная функция (кусочная функция) — это функция, которая на разных промежутках числовой прямой задана разными формулами.

Таких промежутков может быть два и более.

Точки, в которых происходит переход от одной формулы к другой — граничные точки.

Числовая прямая разбита на два промежутка. Граничная точка — x=2.

Обе функции, задающие функцию на разных промежутках — линейные. Такая функция называется кусочно-линейной.

Здесь числовая прямая разбита на три промежутка. Граничные точки — x=1 и x= -1.

При построении графика кусочной функции на каждом из промежутков строят отдельный график.

Далее будем разбирать на конкретных примерах, как строить такие графики.

1 комментарий

Кусочно-непрерывные функции полезны для управления ветвлениями и остановками вычислительных процессов. Имеются пять функций Mathcad, относящихся к этому классу. Функция полезна для выбора одного из двух значений, определяемого условием. Ступенчатая функция Хэвисайда и символ Кронекера

Кусочными функциями называют функции, которые заданы разными формулами на разных промежутках.

Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.

Пример. Построить график кусочной функции (y=egin-frac<5>, & x≤-1\x^2-4x,& x>-1end)

1) Построим первую функцию на области (x∈(-∞;-1]). Для этого найдем несколько точек из этого участка, одна из которых — граничная точка с (x=-1).

Отметим их на координатной плоскости:

(y=-) (frac<5>) — гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку ((-1;5)).

2) Построим вторую функцию на области (x∈(-1;∞)).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции (y=x^2-4x) в точке (-1):
(y(-1)=(-1)^2-4cdot(-1)=1+4=5) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.

(y=x^2-4x) – квадратичная функция , график этой функции — парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:

Читайте также:  Как сделать радугу для фото

Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.

Найдем значение в точке (1) и (0):
(y(1)=1^2-4cdot 1=1-4=-3)
(y(0)=0^2-4cdot 0=0)
Отметим точки ((1;-3)), ((0;0)) и симметричные им на координатной плоскости.

Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.

Готово. График кусочной функции построен.

Как не должна выглядеть кусочная функция:


Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.

Постройте график функции [y=egin x^2-10x+25 quad ext <при >xgeqslant 4,\ x-2qquad ext<при >x

Определите, при каких значениях (n) прямая (y=n) имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим (y=x^2-10x+25) . По формуле квадрата разности данную формулу можно преобразовать в (y=(x-5)^2) . Следовательно, график этой функции получается из параболы (y=x^2) , сдвинутой на 5 единиц вправо. Изобразим график этой функции для (xgeqslant 4) .
Графиком (y=x-2) является прямая; он получается сдвигом прямой (y=x) на 2 единицы вниз. Изобразим эту прямую для (x . Получим:

(заметим, что так как (y=x-2) определена при (x , то точка ((4;2)) на этой прямой будет выколотой)

Прямая (y=n) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком данной функции 2 точки пересечения, если (n=0) (1 точка с прямой, другая – в вершине параболы) и (nin(1;2)) ( (n=1) не включается, потому что тогда имеем 3 точки пересечения: одна с прямой и две другие с параболой; (n=2) не включается, так как на прямой точка ((4;2)) выколота).

Ответ: n = 0, n ∈ (1; 2)

Постройте график функции [y=egin x^2-6x+11 quad ext <при >xgeqslant 2,\ x+3qquad ext<при >x

Определите, при каких значениях (n) прямая (y=n) имеет с графиком три общие точки.

Читайте также:  Где хранятся файлы корзины windows 7

Рассмотрим (y=x^2-6x+11) . Можно выделить полный квадрат: (x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=(x-3)^2+2) . Следовательно, графиком этой функции является парабола, причем она получается сдвигом параболы (y=x^2) на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Изобразим эту параболу для (xgeqslant 2) .
Графиком (y=x+3) является прямая; он получается сдвигом прямой (y=x) на 3 единицы вверх. Изобразим эту прямую для (x . Получим:

(заметим, что так как (y=x+3) определена при (x , то точка ((2;5)) на этой прямой будет выколотой)

Прямая (y=n) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком данной функции 3 точки пересечения, если (nin(2;3]) ( (n=2) не включается, потому что тогда имеем 2 точки пересечения: одна с прямой и одна в вершине параболы; (n=3) включается, так как тогда имеем 1 точку пересечения с прямой и 2 с параболой).

Постройте график функции [y=egin -x^2-4x+1 quad ext <при >xgeqslant -3,\ -x-2qquad ext<при >x

Определите, при каких значениях (n) прямая (y=n) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Рассмотрим (y=-x^2-4x+1) . Можно выделить полный квадрат: (-x^2-4x+1=-(x^2+4x+4-4)+1=-(x+2)^2+5) . Следовательно, графиком этой функции является парабола, причем она получается сдвигом параболы (y=-x^2) на 2 единицы влево и на 5 единиц вверх. Изобразим эту параболу для (xgeqslant -3) .
Графиком (y=-x-2) является прямая; он получается сдвигом прямой (y=-x) на 2 единицы вниз. Изобразим эту прямую для (x . Получим:

(заметим, что так как (y=-x-2) определена при (x , то точка ((-3; 1)) на этой прямой будет выколотой)

Прямая (y=n) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком данной функции одну общую точку, если (n>5) ( (y=5) имеет с графиком 2 общие точки, а вот все прямые выше этой имеют с графиком одну общую точку, лежащую на прямой) и если (nleqslant 1) (тогда будет единственная общая точка, лежащая на параболе, причем (n=1) включается, так как точка ((-3;1)) на прямой выколота).

Читайте также:  1С ссылка нового объекта

Постройте график функции [y=egin x-4 quad ext <при >x 4. end]

Определите, при каких значениях (n) прямая (y=n) имеет с графиком ровно две общие точки.

Все функции являются линейными, то есть их графиками являются прямые. Получим:

(заметим, что так как (y=x-4) определена при (x , то точка ((3;-1)) на этой прямой будет выколота; точка ((4;-1,5)) выколота на прямой (y=1,5x-7,5) , но закрашена на прямой (y=-1,5x+4,5) , следовательно, в итоге она будет закрашенной)

Прямая (y=n) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком две общие точки, если:
1) ее вид будет (y=-1,5) ;
2) (nin [-1;0]) . Тогда будут две точки пересечения, одна на отрезке прямой (y=-1,5x+4,5) , другая на луче прямой (y=1,5x-7,5) .

Ответ: n = −1, 5; n ∈ [ − 1; 0]

Постройте график функции [y=egin 2x-2 quad ext <при >x 4. end]

Определите, при каких значениях (n) прямая (y=n) имеет с графиком ровно три общие точки.

Все функции являются линейными, то есть их графиками являются прямые. Получим:

(заметим, что так как (y=1,5x-7) определена при (x>4) , то точка ((4;-1)) на этой прямой будет выколота; точка ((3;4)) выколота на прямой (y=2x-2) , но закрашена на прямой (y=-3x+13) , следовательно, в итоге она будет закрашенной)

Прямая (y=n) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком три общие точки, если (nin [1;4)) .

Ссылка на основную публикацию
Красивые прайс листы шаблоны
Автор: admin Дата записи Ознакомиться с ценами на услуги вашего салона красоты, клиенты могут с помощью прайс листа. Следующие шаблоны...
Компы от hyper pc
Когда в одном системном блоке объединяются все самые мощные технологии, присущие центральным и графическим процессорам, это и есть энергия компьютеров...
Компрессор для велосипеда 220 вольт
Насос электрический Bravo 220/2000 Насос электрический (220 В) Intex 66620 Насос электрический 220V/12V сеть/прикуриват, д/колёс,м. Насос Intex 220/12 В 66632...
Красивые фото девушек на аву без лица
Бывает такое, что старая аватарка уже надоела, а свежих классных фоток нет. На помощь придут красивые картинки девушек на аву....
Adblock detector