Матрица в нулевой степени

Матрица в нулевой степени

Здесь мы продолжим начатую в первой части тему операций над матрицами и разберём пару примеров, в которых потребуется применять несколько операций сразу.

Возведение матрицы в степень.

При этом полагаем, что $A^0=E$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.

Задана матрица $ A=left(egin 1 & 2 \ -1 & -3 end
ight)$. Найти матрицы $A^2$ и $A^6$.

Согласно определению $A^2=Acdot A$, т.е. для нахождения $A^2$ нам просто нужно умножить матрицу $A$ саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы, поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:

$$ A^2=Acdot A=left(egin 1 & 2 \ -1 & -3 end
ight)cdot left(egin
1 & 2 \ -1 & -3 end
ight)= left(egin
1cdot 1+2cdot (-1) & 1cdot 2+2cdot (-3) \ -1cdot 1+(-3)cdot (-1) & -1cdot 2+(-3)cdot (-3) end
ight)= left(egin
-1 & -4 \ 2 & 7 end
ight). $$

Чтобы найти матрицу $A^6$ у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать $A^2$ на матрицу $A$:

$$ A^6=A^2cdot Acdot Acdot Acdot A. $$

Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для $A^6$:

$$ A^6=A^2cdot Acdot Acdot Acdot A=A^2cdot (Acdot A)cdot (Acdot A)=A^2cdot A^2cdot A^2. $$

Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа – лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:

$$ A^6=A^2cdot A^2cdot A^2=left(egin -1 & -4 \ 2 & 7 end
ight)cdot left(egin
-1 & -4 \ 2 & 7 end
ight)cdot left(egin
-1 & -4 \ 2 & 7 end
ight)=\= left(egin
-1cdot (-1)+(-4)cdot 2 & -1cdot (-4)+(-4)cdot 7 \ 2cdot (-1)+7cdot 2 & 2cdot (-4)+7cdot 7 end
ight)cdot left(egin
-1 & -4 \ 2 & 7 end
ight)= left(egin
-7 & -24 \ 12 & 41 end
ight)cdot left(egin
-1 & -4 \ 2 & 7 end
ight)=\= left(egin
-7cdot(-1)+(-24)cdot 2 & -7cdot (-4)+(-24)cdot 7 \ 12cdot (-1)+41cdot 2 & 12cdot (-4)+41cdot 7 end
ight)= left(egin
-41 & -140 \ 70 & 239 end
ight). $$

Ответ: $A^2=left(egin -1 & -4 \ 2 & 7 end
ight)$, $A^6=left(egin
-41 & -140 \ 70 & 239 end
ight)$.

Заданы матрицы $ A=left(egin 1 & 0 & -1 & 2 \ 3 & -2 & 5 & 0 \ -1 & 4 & -3 & 6 end
ight)$, $ B=left(egin
-9 & 1 & 0 \ 2 & -1 & 4 \ 0 & -2 & 3 \ 1 & 5 & 0 end
ight)$, $ C=left(egin
-5 & -20 & 13 \ 10 & 12 & 9 \ 3 & -15 & 8 end
ight)$. Найти матрицу $D=2AB-3C^T+7E$.

Вычисление матрицы $D$ начнем с нахождения результата произведения $AB$. Матрицы $A$ и $B$ можно перемножать, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. Обозначим $F=AB$. При этом матрица $F$ будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу $F$, вычислив все её элементы:

Читайте также:  Как проверить качество интернета на компьютере

Итак, $F=left(egin -7 & 13 & -3 \ -31 & -5 & 7 \ 23 & 31 & 7 end
ight)$. Пойдём далее. Матрица $C^T$ – транспонированная матрица для матрицы $C$, т.е. $ C^T=left(egin
-5 & 10 & 3 \ -20 & 12 & -15 \ 13 & 9 & 8 end
ight) $. Что же касаемо матрицы $E$, то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. $E=left(egin
1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end
ight)$.

В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2cdot left(egin -7 & 13 & -3 \ -31 & -5 & 7 \ 23 & 31 & 7 end
ight)-3cdot left(egin
-5 & 10 & 3 \ -20 & 12 & -15 \ 13 & 9 & 8 end
ight)+7cdot left(egin
1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end
ight) $$

Умножим матрицы в правой части равенства на соответствующие числа (т.е. на 2, 3 и 7):

$$ 2cdot left(egin -7 & 13 & -3 \ -31 & -5 & 7 \ 23 & 31 & 7 end
ight)-3cdot left(egin
-5 & 10 & 3 \ -20 & 12 & -15 \ 13 & 9 & 8 end
ight)+7cdot left(egin
1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end
ight)=\= left(egin
-14 & 26 & -6 \ -62 & -10 & 14 \ 46 & 62 & 14 end
ight)-left(egin
-15 & 13 & 9 \ -60 & 36 & -45 \ 39 & 27 & 24 end
ight)+left(egin
7 & 0 & 0 \ 0 & 7 & 0 \ 0 & 0 & 7 end
ight) $$

Выполним последние действия: вычитание и сложение:

$$ left(egin -14 & 26 & -6 \ -62 & -10 & 14 \ 46 & 62 & 14 end
ight)-left(egin
-15 & 30 & 9 \ -60 & 36 & -45 \ 39 & 27 & 24 end
ight)+left(egin
7 & 0 & 0 \ 0 & 7 & 0 \ 0 & 0 & 7 end
ight)=\ =left(egin
-14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \ 46-39+0 & 62-27+0 & 14-24+7 end
ight)= left(egin
8 & -4 & -15 \ -2 & -39 & 59 \ 7 & 35 & -3 end
ight). $$

Задача решена, $D=left(egin 8 & -4 & -15 \ -2 & -39 & 59 \ 7 & 35 & -3 end
ight)$.

Ответ: $D=left(egin 8 & -4 & -15 \ -2 & -39 & 59 \ 7 & 35 & -3 end
ight)$.

Пусть $f(x)=2x^2+3x-9$ и матрица $ A=left(egin -3 & 1 \ 5 & 0 end
ight) $. Найти значение $f(A)$.

Если $f(x)=2x^2+3x-9$, то под $f(A)$ понимают матрицу:

Читайте также:  Выделение волос в фотошопе на сложном фоне

Именно так определяется многочлен от матрицы. Итак, нам нужно подставить матрицу $A$ в выражение для $f(A)$ и получить результат. Так как все действия были подробно разобраны ранее, то тут я просто приведу решение. Если процесс выполнения операции $A^2=Acdot A$ для вас неясен, то советую глянуть описание умножения матриц в первой части этой темы.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2Acdot A+3A-9E=2 left(egin -3 & 1 \ 5 & 0 end
ight)cdot left(egin
-3 & 1 \ 5 & 0 end
ight)+3 left(egin
-3 & 1 \ 5 & 0 end
ight)-9left(egin
1 & 0 \ 0 & 1 end
ight)=\ =2 left(egin
(-3)cdot(-3)+1cdot 5 & (-3)cdot 1+1cdot 0 \ 5cdot(-3)+0cdot 5 & 5cdot 1+0cdot 0 end
ight)+3 left(egin
-3 & 1 \ 5 & 0 end
ight)-9left(egin
1 & 0 \ 0 & 1 end
ight)=\ =2 left(egin
14 & -3 \ -15 & 5 end
ight)+3 left(egin
-3 & 1 \ 5 & 0 end
ight)-9left(egin
1 & 0 \ 0 & 1 end
ight) =left(egin
28 & -6 \ -30 & 10 end
ight)+left(egin
-9 & 3 \ 15 & 0 end
ight)-left(egin
9 & 0 \ 0 & 9 end
ight)=left(egin
10 & -3 \ -15 & 1 end
ight). $$

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2. m; j=1,2. n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 11, a 22 . ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i= 1,2. min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 1n, a 2n-1 . a n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Читайте также:  Как установить forkplayer на philips smart tv

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

Формула

Единичная матрица — это квадратная матрица, расположенные элементы которой по главной диагонали равны единице, а оставшиеся равны нулю. Обозначается символом $ E $.

Общая формула единичной матрицы имеет вид: $$ E = egin 1&0&0& ext<. >&0 \ 0&1&0& ext<. >&0 \ 0&0&1& ext<. >&0 \ ext<. >& ext<. >& ext<. >& ext<. >& ext <. >\ 0&0&0& ext<. >&1 end $$

Свойства

  1. При умножении матрицы на единичную матрицу получается та же самая матрица:
    $$ A cdot E = E cdot A = A $$
  2. Любая квадратная матрица в нулевой степени равна единичной матрице:
    $$ A^0 = E $$
  3. При умножении матрицы на обратную её матрицу получается единичная матрица:
    $$ A cdot A^ <-1>= E $$
  4. При умножении матрицы на транспонированную к ней матрицу получается единичная матрица:
    $$ A cdot A^T = E $$
  5. Определитель единичной матрицы $ E $ равен единице:
    $$ Delta = det E = 1 $$

Свойства единичной матрицы подразумеваются для квадратных матриц.

Примеры

По определению единичная матрица является квадратной, главная диагональ заполнена единицами, а остальные элементы равны нулю:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример
Составить единичную матрицу второго, третьего и четвертого порядка
Решение
Ссылка на основную публикацию
Люстра с пультом управления светодиодная инструкция
Идея установить и подключить люстру с пультом замечательна тем, что хозяева квартиры получают возможность управлять освещением, не привязываясь к выключателю....
Линза для лазерного диода
Асферические линзы используются для коррекции сферических аберраций. Вместо применения сложных линз такие аберрации могут быть снижены до минимума при использовании...
Линукс для нетбука acer aspire one
Автор — Андрес Брачо (Andrés Bracho) Я не технарь, не компьютерщик и не программист. Я всего лишь среднестатис-тический пользователь, кото-рый...
Ля рош позе скидки
12 актуальных предложений март 2020 Сэкономьте 10% с промокодом при покупке более 3000 рублей Приобретите в интернет-магазине La Roche Posay...
Adblock detector