Метод неопределенных коэффициентов 8 класс примеры

Метод неопределенных коэффициентов 8 класс примеры

Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

используется метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства — $Q_(x)$, в числителе левой части получим некоторый многочлен $R_(x)$ с неизвестными коэффициентами;

используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.

Задание. Разложить рациональную дробь $frac<2>-5 x+6>$ на простые дроби.

Решение. Так как корнями знаменателя являются значения $x_<1>=2$, $x_<2>=3$, то его можно разложить на множители следующим образом:

Искомое разложение имеет вид:

Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

$Rightarrow x+3=(A+B) x-3 A-2 B$

Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

Отсюда, искомое разложение:

Метод неопределенных коэффициентов позволяет проинтегрировать любую рациональную дробь. При этом могут получиться лишь многочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Второй способ нахождения коэффициентов

Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит в том, что в получаемом относительно $x$ тождестве аргументу $x$ придают значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов. Данный метод более удобен, если корни знаменателя некратные. На практике чаще всего используется комбинация обоих способов.

Задание. Представить в виде суммы элементарных дробей дробь $frac<2>-5 x+6>$

Решение. Как уже было показано, относительно переменной $x$ получено следующее равенство:

Класс: 9

Предмет: алгебра

Цели и задачи урока:

Образовательная: Организовать деятельность учащихся по изучению метода неопределенных коэффициентов;

организовать деятельность учащихся по доказательству утверждений с помощью метода неопределенных коэффициентов, применению метода неопределенных коэффициентов при решении олимпиадных задач.

Развивающая: Содействовать формированию научного мировоззрения, развитию исследовательских навыков, умения аргументировать, классифицировать.

Воспитательная: Содействовать развитию внимательности, инициативности, трудолюбия, творческих способностей.

Тип урока: изучение нового материала.

Форма проведения урока: беседа, фронтальная.

Ожидаемый результат:

  • уметь применять метод неопределенных коэффициентов при решении задач;
  • владеть терминологией на казахском, русском и английском языках, изученной во время урока;

Структура урока:

  1. Организация начала урока
  2. Проверка домашнего задания
  3. Актуализация опорных знаний
  4. Осознание и осмысление учебного материала.
  5. Усвоение новых знаний
  6. Первичная проверка понимания учащимися нового материала
  7. Закрепление новых знаний
  8. Задание на дом
  9. Подведение итогов урока.
Читайте также:  Как настроить tab в ворде

Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.

Простые дроби имеют название элементарных дробей.

Типы дробей

  1. A x — a ;
  2. A ( x — a ) n ;
  3. M x + N x 2 + p x + q ;
  4. M x + N ( x 2 + p x + q ) n .

A , M , N , a , p , q из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.

При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.

Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x — 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x — ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x — 3 2 ∫ d ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 — 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x — 3 2 ln x 2 + 1 — 2 a r c tan ( x ) + C

Произвести разложение дроби вида — 2 x + 3 x 3 + x .

Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.

Применим деление углом. Получаем, что

Отсюда следует, что дробь примет вид

2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + — 2 x + 3 x 3 + x

Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен — 2 x + 3 x 3 + x .

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:

  • Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x 3 + x = x x 2 + 1 для упрощения выносят х за скобки.
  • Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Рассмотрим на нескольких примерах:

Когда в знаменателе имеется выражение вида ( x — a ) ( x — b ) ( x — c ) ( x — d ) , количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа A x — a + B x — b + C x — c + D x — d , где a , b , c и d являются числами, A , B , C и D – неопределенными коэффициентами.

Когда знаменатель имеет выражение ( x — a ) 2 ( x — b ) 4 ( x — c ) 3 , количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:

A 2 x — a 2 + A 1 x — a + B 4 x — b 4 + B 3 x — b 3 + B 2 x — b 2 + B 1 x — b + + C 3 x — c 3 + C 2 x — c 2 + C 1 x — c

где имеющиеся a , b , c являются числами, а A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , C 1 , C 2 , C 3 — неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.

Когда знаменатель имеет вид типа x 2 + p x + q x 2 + r x + s , тогда количество квадратичных функций значения не имеет, а дробь принимает вид третьего типа P x + Q x 2 + p x + q + R x + S x 2 + r x + s ,где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P , Q , R и S – определенными коэффициентами.

Когда знаменатель имеет вид x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 , количество множителей значения не имеет также , как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида

Читайте также:  Как очистить кэш на планшете леново

P 4 x + Q 4 ( x 2 + p x + q ) 4 + P 3 x + Q 3 ( x 2 + p x + q ) 3 + P 2 x + Q 2 ( x 2 + p x + q ) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 ( x 2 + r x + s ) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R 1 , R 2 , S 1 , S 2 — неопределенными коэффициентами.

Когда имеется знаменатель вида ( x — a ) ( x — b ) 3 ( x 2 + p x + q ) ( x 2 + r x + s ) 2 , тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа

A x — a + B 3 x — b 3 + В 2 x — b 2 + В 1 x — b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается в сумму третьим типом вида 2 x — 3 x 3 + x = 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1 , где A , B и C являются неопределенными коэффициентами.

Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что

2 x — 3 x 3 + x = 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A ( x 2 + 1 ) + ( B x + C ) x x ( x 2 + 1 ) = A x 2 + A + B x 2 + C x x ( x 2 + 1 ) = = x 2 ( A + B ) + x C + A x ( x 2 + 1 )

Когда х отличен от 0 , тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2 x — 3 = x 2 ( A + B ) + x C + A . Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.

  • Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
    A + B = 0 C = 2 A = — 3
  • Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A + B = 0 C = 2 A = — 3 ⇔ A = — 3 B = 3 C = 2
  • Производим запись ответа:
    2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 — 2 x — 3 x 3 + x = 2 — 2 x — 3 x ( x 2 + 1 ) = = 2 — A x + B x + C x 2 + 1 = 2 — — 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x — 3 x + 2 x 2 + 1

Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид

2 + 3 x — 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x ( x 2 + 1 ) — ( 3 x + 2 ) x x ( x 2 + 1 ) = 2 x 3 + 3 x 3 + x

Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.

Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:

x — a x — b x — c x — d .

Произвести разложение дроби 2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x .

По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что

x 3 — 5 x 2 + 6 x = x ( x 2 — 5 x + 6 )

Квадратный трехчлен x 2 — 5 x + 6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:

x 1 + x 2 = 5 x 1 · x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2

Запись трехчлена может быть в виде x 2 — 5 x + 6 = ( x — 3 ) ( x — 2 ) .

Тогда изменится знаменатель: x 2 — 5 x 2 + 6 x = x ( x 2 — 5 x + 6 ) = x ( x — 3 ) ( x — 2 )

Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:

2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A x + B x — 3 + C x — 2

Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:

2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A x + B x — 3 + C x — 2 = = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 ) x ( x — 3 ) ( x — 2 )

После упрощения придем к неравенству вида

2 x 2 — x — 7 x ( x — 3 ) ( x — 2 ) = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 ) x ( x — 3 ) ( x — 2 ) ⇒ ⇒ 2 x 2 — x — 7 = A ( x — 3 ) ( x — 2 ) + B x ( x — 2 ) + C x ( x — 3 )

Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х = 0 , х = 2 и х = 3 .

Если х = 0 , получим:

2 · 0 2 — 0 — 7 = A ( 0 — 3 ) ( 0 — 2 ) + B · 0 · ( 0 — 2 ) + C · 0 · ( 0 — 3 ) — 7 = 6 A ⇒ A = — 7 6

Читайте также:  Как через спутник увидеть человека

Если x = 2 , тогда

2 · 2 2 — 2 — 7 = A ( 2 — 3 ) ( 2 — 2 ) + B · 2 · ( 2 — 2 ) + C · 2 · ( 2 — 3 ) — 1 = — 2 C ⇒ C = 1 2

Если x = 3 , тогда

2 · 3 2 — 3 — 7 = A ( 3 — 3 ) ( 3 — 2 ) + B · 3 · ( 3 — 2 ) + C · 3 · ( 3 — 3 ) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3

Ответ: 2 x 2 — x — 7 x 3 — 5 x 2 + 6 x = A x + B x — 3 + C x — 2 = — 7 6 · 1 x + 8 3 · 1 x — 3 + 1 2 · 1 x — 2

Метод коэффициентов и метод частных значений отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.

Произвести разложение выражения x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 на простейшие дроби.

По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C ( x — 3 ) 3 + C ( x — 3 ) 2 + C x — 3

Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C ( x — 3 ) 3 + C ( x — 3 ) 2 + C x — 3 = = A ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + B ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + + C 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3

Приравняем числители и получим, что

x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 + B ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 + + C 3 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2

Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х = 1 , х = — 1 и х = 3 . Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:

— 5 = — 16 A ⇒ A = 5 16

— 15 = 128 B ⇒ B = — 15 128

157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8

Отсюда следует, что нужно найти значения C 1 и C 3 .

Поэтому подставим полученный значения в числитель, тогда

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 = = 5 16 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 — 15 128 ( x — 1 ) ( x — 3 ) 3 + 157 8 ( x — 1 ) ( x + 1 ) + + C 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) + C 1 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2

Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 — 85 64 + C 2 — 6 C 1 + + x 2 673 32 — 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 — C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 — 9 C 1 — 3997 128

Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C 1 и C 3 . Теперь необходимо решить систему:

25 128 + C 1 = 1 — 85 64 + C 2 — 6 C 1 = 3 673 32 — 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 — C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 — 9 C 1 — 3997 128 = 11

Первое уравнение дает возможность найти C 1 = 103 128 , а второе C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 · 103 128 = 293 32 .

Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:

x 4 + 3 x 3 + 2 x — 11 ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x — 3 ) 3 = A x — 1 + B x + 1 + C 3 x — 3 3 + C 2 x — 3 2 + C 1 x — 3 = = 5 16 1 x — 1 — 15 128 1 x + 1 + 157 8 · 1 x — 3 3 + 293 32 1 x — 3 2 + 103 128 1 x — 3

При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.

Ссылка на основную публикацию
Мегафон опции за рубежом
Всем абонентам мобильной связи известно, что оплата услуг в роуминге достаточно высокая. Кроме того, нужно платить за входящие звонки. И...
Люстра с пультом управления светодиодная инструкция
Идея установить и подключить люстру с пультом замечательна тем, что хозяева квартиры получают возможность управлять освещением, не привязываясь к выключателю....
Ля рош позе скидки
12 актуальных предложений март 2020 Сэкономьте 10% с промокодом при покупке более 3000 рублей Приобретите в интернет-магазине La Roche Posay...
Мегафон отправить деньги с телефона на телефон
Каждый клиент компании Мегафон при необходимости может со своего счёта пополнить баланс близкого, который также пользуется услугами данного оператора. Для...
Adblock detector