Методы оптимизации и вариационное исчисление

Методы оптимизации и вариационное исчисление

Направление — 511300 ( механика, прикладная математика)
Специальность — 010500
Семестры 6,7

Общее количество часов
(трудоемкость)
130 час.
в т.ч.:
лекции 64 час.
практические занятия 18 час.

Отчетности:
зачет — 6, 7 семестры

Контрольные мероприятия:
контрольные работы:
6 семестр 1
коллоквиумы:
6 семестр 1
7 семестр 1

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

"Вариационное исчисление и методы оптимизации" является общеобразовательным курсом в фундаментальной подготовке механиков, выпускаемых университетом. Многие практические задачи, представленные в математической форме, состоят в нахождении оптимума (минимума или максимума) некоторой функции (функционала) с учетом ограничений, наложенных на допускаемые значения переменных. Такие задачи принято называть оптимизационными.

Вариационное исчисление (оптимизация интегральных функционалов) изучается в течение одного семестра. Основное внимание уделяется классическим теоремам и методам исследования. Необходимые условия оптимальности излагаются на основе метода Лагранжа — введение числового параметра, дифференцирование по этому параметру. Демонстрируется универсальность этого метода для самых разных задач. Достаточные условия оптимальности базируются на конструкциях теории поля.

На практических занятиях главное внимание уделяется задачам с хорошим механическим содержанием. Рассматриваются классические модельные задачи: задача о брахистохроне, задача о наименьшей поверхности вращения, аэродинамическая задача Ньютона. В каждой из них находится глобальное оптимальное решение, анализируется его зависимость от параметров задачи. На примере этих задач студенты знакомятся с численными методами. При этом используется специально разработанное программное обеспечение, позволяющее в рамках каждой задачи рассмотреть различные типы решений и способы их получения.

Традиционно в УрГУ для механиков читается спецкурс "Теория оптимального управления". Поэтому в курсе вариационного исчисления лишь обсуждается связь классического вариационного исчисления и современной теории оптимального управления.

Методы конечномерной оптимизации также изучаются в течение одного семестра. Два занятия отводится на решение задач. Основная тема — метод множителей Лагранжа, его различные интерпретации. В учебный материал включены элементы выпуклого анализа. При изложении теории двойственности студенты знакомятся с теоремами, связывающими максимин и минимакс.

Все основные утверждения курса даются с полными доказательствами. Изучение данной дисциплины позволит приобрести навыки в построении математических моделей различных практических задач, в выборе математических методов для их решения с использованием вычислительных машин, помогает глубже понять ряд других специальных курсов. Эта дисциплина развивает математическую интуицию, воспитывает математическую культуру, необходимую для правильного использования математики.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА

История развития задач на минимум и максимум, классическое вариационное исчисление. Простейшая вариационная задача. Уравнение Эйлера. Необходимые условия оптимальности для случая векторной функции и в задаче со старшими производными. Условие трансверсальности. Вариационные задачи в параметрической форме. Необходимые условия оптимальности в вариационной задаче с функционалом, задаваемым двойным интегралом. Вариационное исчисление и задачи механики. Принцип Гамильтона. Задачи вариационного исчисления с ограничениями. Изопериметрические задачи. Вариационное исчисление и современные задачи оптимального управления. Элементы теории поля. Достаточные условия оптимальности (условия Вейерштрасса, Лежандра, Якоби). Уравнение Гамильтона-Якоби. Численные методы решения задач вариационного исчисления. Классические модельные задачи вариационного исчисления.

Гладкие задачи математического программирования. История развития задач математического программирования. Правило множителей Лагранжа. Необходимые условия локального оптимума для задач с ограничениями в виде равенств и в виде неравенств. Элементы выпуклого анализа. Теорема об отделимости выпуклых множеств. Задачи выпуклого программирования. Максимин и минимакс. Матричные игры. Двойственность в математическом программировании. Задачи линейного программирования и проблемы экономики. Симплекс-метод. Численные методы решения задач без ограничений: метод Ньютона, градиентные методы, методы прямого поиска.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Необходимые условия оптимальности первого порядка в простейшей задаче вариационного исчисления. Интегрирование уравнения Эйлера.

3. Задача о наименьшей поверхности вращения. Глобальный и локальные минимумы, вырожденные решения.

4. Необходимые условия в задаче со старшими производными. Задача управления с оптимизацией расхода "энергии".

5. Вариационные задачи с подвижными границами. Условия трансверсальности.

6. Аэродинамическая задача Ньютона. Оптимальные решения в различных классах допустимых функций. Роль условия трансверсальности в задаче Ньютона.

7. Прямые методы решения задач вариационного исчисления. Использование алгоритмов конечномерной оптимизации.

8. Демонстрация на компьютере численных методов применительно к аэродинамической задаче, задаче о наименьшей поверхности вращения, задаче о брахистохроне.

Читайте также:  Intel hd 3000 mac os

9. Необходимые условия в вариационной задаче с функционалом, задаваемым двойным интегралом. Задача Плато.

10. Задачи вариационного исчисления с ограничениями.

11. Необходимые условия в изопериметрической задаче.

12. Поле экстремалей. Условия Вейерштрасса, Лежандра, Якоби. Достаточные условия оптимальности. Проверка достаточных условий в задаче о наименьшей поверхности вращения и в задаче о брахистохроне.

КОНЕЧНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

1. Задачи на условный экстремум с ограничениями в виде равенств и неравенств.

2. Выпуклые множества. Выпуклые функции. Опорная функция. Субдифференциал.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.: Наука, 1984.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Альбрехт Э.Г., Каюмов Р.И., Соломатин А.М., Шелементьев Г.С. Методы оптимизации: введение в теорию решения экстремальных задач. Екатеринбург: УрГУ, 1993.

4. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955.

5. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.

6. Бересекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. 1981.

9. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1961.

10. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976.

11. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

12. Краснов М.Л., Макаренко Г.П., Киселев А.И. Вариационное исчисление: Задачи и упражнения. М.: Наука, 1973.

13. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том. II. М.: Наука, 1970.

14. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А., Курс вариационного исчисления. М.: ГОНТИ, 1938.

15. Методы оптимизации: Сборник задач. Свердловск; УрГУ, 1988.

16. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. М.: "Мир", 1973.

17. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

18. Теория оптимальных аэродинамических форм: Сб. статей под ред. А.Миеле, пер. с англ. М.: "Мир", 1969

19. Учебная программа, темы контрольных работ и вопросы к коллоквиумам по курсу "Методы оптимизации" (Методические указания). Свердловск: Изд-во Уральского госуниверситета, 1986.

20. Эльсгольц Л.В. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

21. Эльстер К.-Х., Рейнгардт Р., Шойбле М., Донат Г. Введение в нелинейное программирование. М.: Наука, 1985.

Современное вариационное исчисление как отрасль математики есть отрасль функционального анализа. Значимость вариационного исчисления высока, поскольку именно оно является фундаментальной основой, на которой строятся приобретающие все большую важность современные методы оптимального проектирования во многих отраслях инженерного знания и в других отраслях человеческой деятельности.

Становление вариационного исчисления уходит в незапамятные времена и связано с вечным желанием людей сделать окружающий их мир совершеннее. Возьмем задачу Дидоны о наибольшей площади, которую можно отделить с помощью воловьей шкуры, или задачу Ньютона отеле минимального сопротивления. В каждой из них мы видим попытку возможными и, как правило, ограниченными ресурсами получить наилучший результат.

Вариационное исчисление обязано своим созданием и развитием большинству выдающихся математиков прошлого. В его идеях отразился гений И. Ньютона (1643—1727), Л. Эйлера (1707- 1783) и Ж. Л. Лагранжа (1736—1813), А. М. Лежандра (1752—1833), К. Якоби (1804—1851), У. Гамильтона (1805—1865), К. Вейерштрас- са (1815—1897). Позднее неоценимый вклад в вариационное исчисление внесли Д. Гильберт (1862—1943), О. Больц (1857—1942) и Л. Тоннели (1885-1946).

Сегодня математика рассматривает вариационное исчисление как раздел функционального анализа, и многие из учебников, посвященных вариационному исчислению, исходят из такого подхода к предмету. Но предмет функционального анализа находится за пределами подавляющего большинства направлений подготовки в высшей технической школе, что заставляет задуматься над тем, как преподносить вариационное исчисление в техническом вузе. Нам важно нс потерять строгость, но важно и не потерять его прикладной характер, «утонув» в подходах математико-логического формализма, к которому склонно большинство современных учебников. И здесь уместно указать на такое обстоятельство, как повсеместное и часто не вполне оправданное использование этого формализма с высоким уровнем абстракции в изложении математики во многих современных учебниках и книгах. Это особенно характерно для французской математической школы, что очень часто делает выдающиеся достижения современной математики практически недоступными для инженерного сообщества. Заметим, что на это указывал один из крупнейших математиков нашего времени Владимир Игоревич Арнольд (1937—2010) — жесткий критик логико-формапистичсского подхода французской школы Н. Бурбаки, нанесшей, по его мнению, существенный вред преподаванию математики в современном мире. Вслед за крупнейшим математиком Х1Х-ХХ вв. Анри Пуанкаре (1854—1912) Владимир Игоревич считал важнейшими подходы в изложении, которые характеризуются наглядностью и ясным геометрическим смыслом.

Читайте также:  Как пользоваться селфи палкой без провода

Именно на пути сочетания традиционного (классического) изложения вариационного исчисления с некоторыми современными взглядами на предмет автор старался писать эту книгу.

Цель данной книги — знакомство с основными понятиями и подходами вариационного исчисления применительно к его практическому использованию главным образом в инженерном анализе и проектировании.

Книга состоит из восьми разделов. Разделы 1 и 2 носят вводный характер, поскольку в них рассматривается как простейшая задача вариационного исчисления, так и ее некоторое расширение.

В разделе 1 рассматриваются важнейшие понятия вариационного исчисления: введено понятие функционала и рассмотрены такие ключевые понятия, как вариации кривых и функционалов. При этом мы будем двигаться примерно тем же путем, которым развивалось вариационное исчисление со времен Эйлера во второй половине XVIII — начале XIX в. Сначала мы построим уравнение Эйлера—Лагранжа — важнейшее необходимое условие экстремума функционала, позволяющее определить подозрительную на экстремум функцию, затем получим необходимые условия Лежандра, Якоби и Вейерштрасса, которые разрабатывались с конца XVI11 в. по вторую половину XIX в.

Раздел 2 расширяет наше рассмотрение вариационных задач на класс задач с подвижными границами. В разделе 1 мы рассмотрели вариационную задачу в предположении, что допустимые кривые проходят через заданные концевые точки. Очевидно, что, предполагая подвижность концевых точек, мы существенно расширяем постановку задачи, поскольку ищем экстремум в более широком классе функций. При этом расширение класса допустимых функций дает нам возможность провести очень важные построения, позволяющие по-новому посмотреть на саму суть подхода к решению вариационных задач.

В разделе 3 рассмотренное в разделе 2 расширение простейшей задачи вариационного исчисления содержит два направления расширения, при этом оба они касаются только классов допустимых функций. Сначала мы предполагаем, что концы множества допустимых кривых могут быть подвижны, затем допускаем к рассмотрению кривые, у которых производные могут иметь разрывы. Безусловно, такое расширение класса допустимых функций позволяет нам увеличить множество функций, среди которых ищутся экстремали. Вместе с тем эти расширения носят локальный характер, т. е. они имеют место в нескольких точках допустимых кривых (в концевых и ряде внутренних) и не являются некоторыми ограничениями на всю кривую «в целом» [1] или является поточечными, т. е. ограничениями в каждой точке кривой. В этом разделе мы пойдем по пути дальнейшего расширения класса допустимых функций и рассмотрим множества допустимых функций как с ограничениями на всю кривую «в целом», так и с поточечными ограничениями. В первом случае мы рассмотрим так называемую изопериметрическую задачу, само название которой указывает на то, что будут рассматриваться допустимые кривые, говоря условно, с некоторой (в каком-то смысле) «общей длиной» кривых (в каком смысле — далее уточним). Во втором случае (поточечных ограничений) мы будем рассматривать как функциональные, так и дифференциальные ограничения, которым должны удовлетворять допустимые функции.

Раздел 4 посвящен изучению квадратичного функционала и второй вариации в вариационной задаче. Здесь в дополнение к уравнениям Эйлера—Лагранжа и условиям Лежандра и Вейер- штрасса рассматриваются некоторые новые необходимые условия, которые приводят к введению понятия сопряженной точки и необходимого условия Якоби. Здесь же мы подходим к рассмотрению достаточных условий слабого минимума в простейшей задаче.

В раздаче 5 продолжается рассмотрение теории поля экстремалей, начатое в разделе 2. Наряду с полем экстремалей вводится поле наклонов и строится уравнение Гамильтона—Якоби. Также приводится геометрический вывод уравнения Якоби. В определенном смысле данный раздел как бы завершает рассмотрение классического вариационного исчисления, венцом которого являлись необходимые и достаточные условия Вейерштрасса сильного экстремума.

Читайте также:  Для чего нужен факс

Раздел 6 в определенном смысле особый: он вводит нас в вариационные задачи для функций нескольких независимых переменных, или, как часто говорят, в пространственные задачи вариационного исчисления. А это требует разыскания экстремальных функций многих переменных, а значит, нужно решать уравнения Эйлера—Лагранжа, которые являются уже уравнениями в частных производных. Рассматриваются необходимые условия в простейшей задаче для функций нескольких независимых переменных, задачи с подвижными границами и негладкие экстремали.

Раздел 7 посвящен связи вариационного исчисления и методов оптимизации. При этом раздел построен таким образом, чтобы дать возможность увидеть развитие теоретических основ методов оптимизации и их связь с вариационным исчислением на конкретных примерах. Также здесь мы кратко останавливаемся на принципе максимума. Приведенные примеры указывают, в частности, на проблемы, которые возникают при решении пространственных задач оптимизации.

Раздет 8 посвящен численным методам решения задач вариационного исчисления оптимального управления. Приведены основные методы решения вариационных задач — градиентный метод первого порядка и метод Ньютона. На примере решения изопери- метрической задачи вариационного исчисления показано, как строятся численные процедуры для решения задач с ограничениями.

Список используемых источников приведен в конце книги, за исключением раздела 7, где список имеет специальный характер и приведен в конце раздела.

Автор благодарен своим товарищам по Санкт-Петербургскому политехническому университету, в первую очередь профессорам Е. Д. Викторову, Л. В. Петухову и Б. А. Смольникову, за обсуждение многих вопросов вариационного исчисления, его применения к решению практически важных задач и за советы по содержанию пособия.

1. Элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа;

2. задачи линейного программирования и проблемы экономики; теоре­ ма двойственности; классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго порядка Лежандра и Якоби;

3. задачи классического вариационного исчисления с ограничениями; необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со старшими производными; классическое вариационное исчисление и естествознание;

4. оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина; оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного программирования; симплекс-метод; методы решения задач без ограничения; градиентные методы; метод Ньютона; методы сопряженных направлений;

5. численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.

Рекомендуемая литература: см. [38] — [41].

Методы вычислений

1. Введение в численные методы; постановка задачи интерполяции;

2. дискретное преобразование Фурье; наилучшее приближение в нормированном пространстве; существование элемента наилучшего приближения

3. процесс ортогонализации Шмидта; рекуррентная формула для вычисления ортогональных многочленов; сплайны

4. квадратурные формулы Ньютона-Котеса, Гаусса, составные квадратурные формулы.

5. численное дифференцирование.

6. основные задачи линейной алгебры, метод Гаусса; метод простой итерации, теорема о достаточном условии сходимости, необходимое и достаточное условие сходимости; метод простой итерации для симметричных положительно определенных матриц, оптимизация параметра процесса; процесс ускорения сходимости итераций; метод наискорейшего градиентного спуска; метод Зейделя; методы решения нелинейных уравнений (метод бисекций, метод простой итерации и метод Ньютона); метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ, метод Эйлера и его модификации,

7. методы Рунге-Кутта; конечно-разностные методы, понятие об аппроксимации, исследование свойств конечно-разностных схем на модельных примерах;

8. основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость; аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи для ОДУ второго порядка; методы решения системы ЛАУ с трехдиагональной матрицей (метод стрельбы и метод прогонки); метод конечных элементов; простейшие разностные схемы для уравнения переноса, спектральный признак устойчивости, разностные схемы для уравнения теплопроводности, явная и неявная схемы, схема с весами, устойчивость и аппроксимация схемы с весами, схема со вторым порядком аппроксимации; разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике, ее корректность; методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона (метод Гаусса, метод разложения в дискретный ряд Фурье, метод простой итерации);

9. численные методы решения интегральных уравнений второго рода; метод регуляризации решения интегральных уравнений первого рода.

Рекомендуемая литература: см. [42] — [44].

Ссылка на основную публикацию
Мегафон опции за рубежом
Всем абонентам мобильной связи известно, что оплата услуг в роуминге достаточно высокая. Кроме того, нужно платить за входящие звонки. И...
Люстра с пультом управления светодиодная инструкция
Идея установить и подключить люстру с пультом замечательна тем, что хозяева квартиры получают возможность управлять освещением, не привязываясь к выключателю....
Ля рош позе скидки
12 актуальных предложений март 2020 Сэкономьте 10% с промокодом при покупке более 3000 рублей Приобретите в интернет-магазине La Roche Posay...
Мегафон отправить деньги с телефона на телефон
Каждый клиент компании Мегафон при необходимости может со своего счёта пополнить баланс близкого, который также пользуется услугами данного оператора. Для...
Adblock detector