Методы решения линейных дифференциальных уравнений

Методы решения линейных дифференциальных уравнений

Определения и методы решений

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где p и q – функции переменной x .

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.

Член q ( x ) называется неоднородной частью уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем в (2):

Интегрируем:

Умножаем на . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i) .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:

Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1 ).
Умножим (i) на x 3 :
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3 :
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-07-2012 Изменено: 25-02-2015

text-align:center;line-height:normal">
ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

text-align:right;line-height:normal">
Жгилев Данил Юрьевич

text-align:right;line-height:normal">
студент 2 курса, факультет электроэнергетики и электротехники ДВФУ, г. Владивосток

text-align:right;line-height:normal">
Дмух Галина Юрьевна

text-align:right;line-height:normal">
научный руководитель, канд. пед. наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и анализа, ДВФУ, г. Владивосток

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Операционный метод приобрел большое значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эффективность применения операционного исчисления при решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в удобстве и простоте вычислений. Прежде всего это относится к решению систем таких уравнений [4, с. 131].

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

text-align:right;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
(1)

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
где коэффициенты -постоянные величины, при начальных условиях

text-align:right;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
x(0)= , (0) , . , (0)= (2)

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
где — заданные числа [3, с. 126].

Читайте также:  Как сделать формат pdf в word

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Операционный метод решения состоит в том, что мы считаем как искомую функцию x(t), так и правую часть f(t) оригиналами и переходим от уравнения (1) , связывающего оригиналы, к уравнению, связывающему их изображения X(p) и F(p), тогда x(t)X(p), а f(t)F(p). Воспользуемся теоремой о дифференцировании оригинала:

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
,

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
,

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Применяя свойство линейности получаем вместо уравнения (1) алгебраическое соотношение, которое назовем изображением, или операторным уравнением:

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
++. +()+ [2, с. 127—128]

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
В результате мы получили уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения X(p).

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
где ,

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
-алгебраические многочлены от p степени n и n-1 соответственно [1, с. 264].

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Из последнего уравнения находим

text-align:right;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
(3)

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (1). Остается по полученному изображению X(p) найти оригинал x(t) , применяя для этого соответствующие правила операционного исчисления. Найденный оригинал x(t) будет являться частным решением дифференциального уравнения (1) [3, с. 128].

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Пример: найдем решение дифференциального уравнения операционным методом при условиях

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
=

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение, получим операторное уравнение: . Отсюда X(p)=

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Для нахождения оригинала разложим дробь на простейшие

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
A(p+1)+B(p-3)(p+1)+C=1

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Ap+A+B-2Bp-3B+C-6Cp+9С=1

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Составим систему уравнений:

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Решив ее, получаем

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Итак X(p)= , откуда

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
x(t)=— решение данного дифференциального уравнения.

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать операционными методами совершенно так же, как и отдельные уравнения; все отличие заключается лишь в том, что вместо одного изображающего уравнения приходим к системе таких уравнений, причем система эта в отношении изображений искомых функций будет линейно алгебраической. При этом никаких предварительных преобразований исходной системы дифференциальных уравнений производить не требуется [3, с. 134].

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Метод решения таких систем покажем на примере.

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Пример: решить систему дифференциальных уравнений

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
при начальных условиях x(0)=2 , y(0)=0.

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Подставим эти выражения в систему дифференциальных уравнений, система операторных уравнений принимает вид:

Читайте также:  Какой ноутбук выбрать для работы в фотошопе

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Решая эту систему уже алгебраических уравнений , находим:

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
X(p)= ,

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Y(p)=

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Раскладывая найденные изображения на простые дроби находим:

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
X(p)= ,

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Y(p)= .

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
x(t)=

text-align:center;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
y(t)=.

justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:1.0cm;line-height:150%">
Таким образом операционный метод позволяет в ряде случаев значительно упростить процедуру нахождения решения линейных дифференциальных уравнений и их систем.

margin-left:1.0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;
text-indent:-1.0cm;line-height:150%">
Список литературы:

margin-bottom:0cm;margin-left:1.0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;
text-justify:inter-ideograph;text-indent:-1.0cm;line-height:150%">
1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. -М., Главная редакция физико-математической литературы, 1968 г., — стр. 416. — Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов. — 263—268 с.

margin-bottom:0cm;margin-left:1.0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;
text-justify:inter-ideograph;text-indent:-1.0cm;line-height:150%">
2.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. — 127—132 с.

margin-bottom:0cm;margin-left:1.0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;
text-justify:inter-ideograph;text-indent:-1.0cm;line-height:150%">
3.Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. Изд. второе, доп.Учебное пособие для вузов М. «Высшая школа», 1972 — 126—139 с.

margin-bottom:0cm;margin-left:1.0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;
text-justify:inter-ideograph;text-indent:-1.0cm;line-height:150%">
4.Штокало И.3. Операционное исчисление (обобщения и приложения) Киев, Издательство «Наукова Думка», 1972 —131—144 с.

3.1. Классический метод

Классическим оператором преобразования, связывающим входной и выходной сигналы линейной системы, является линейное ДУ с постоянными коэффициентами (рис.3.1).

Переменная, стоящая в правой части уравнения, является входным воздействием, а в левой – выходной величиной.

В общем случае линейное неоднородное ДУ записывается в виде

. (3.1)

Из теории ДУ известно, что интегрирование уравнения (3.1), т.е. определениеy(t) при заданномx(t), сводится к нахождению общего интеграла однородного ДУ (без правой части) и частного решения неоднородного ДУ (с правой частью). Тогда общее решение неоднородного ДУ

,

где – общее решение однородного ДУ, характеризует свободное движение системы (без внешних воздействий);– частное решение неоднородного ДУ, характеризует вынужденное движение системы.

Общее решение однородного ДУ обычно отыскивается в виде экспоненты

. (3.2)

Взяв от (3.2) производные и подставив в (3.1), получим

,

или, сократив на e – pt , имеем

. (3.3)

Уравнение (3.3) является характеристическим уравнением ДУ (3.1), имеющим nкорней и, следовательно,nнезависимых решений. Известно, что если имеетсяnнезависимых решений уравнения, то их сумма также является решением этого уравнения, т.е.

Читайте также:  Как изменить экран блокировки в windows 10

,

где pi– корни характеристического уравнения;Ci– постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Частное решение неоднородного ДУ обычно отыскивается в том же виде, в каком дана правая часть, т.е. зависит от вида функции x(t) на входе.

В реальных системах входной сигнал чаще всего бывает случайной функцией времени. Поэтому, чтобы сопоставить переходные процессы в различных системах, рассматривают динамику систем при так называемых типовых входных воздействиях, в качестве которых чаще всего применяются единичные ступенчатая и импульсная функции.

Единичная ступенчатая функция(рис.3.2, а) описывает мгновенное изменение входного сигнала и обозначается,

Единичная импульсная функция(рис.3.2, б) описывается выражением

.

Очевидно, что функции 1(t) и(t) связаны между собой соотношением. При подаче на вход системы типового входного воздействия видаиливыходная величина системы будет изменяться во времени тем или иным образом. Это изменение и является реакцией системы на определенное воздействие.

Если и начальные условия нулевые, то реакция системы называетсяпереходной функциейилипереходной характеристикой.

Если и начальные условия нулевые, то реакция системы называетсяимпульсной переходной характеристикойилифункцией веса.

Функции иназываютсявременными характеристикамисистемы иликривыми разгона, и для линейных звеньев связаны соотношением

.

Пример 2. Пусть система управления описывается ДУ первого порядка

,

Найти временные характеристики системы.

Характеристическое уравнение имеет корень. Общее решение однородного ДУ имеет вид. Предположим, что, тогда частное решение ДУ. Подставив его в ДУ, получимC2 = k. Тогда общее решение неоднородного ДУ.

Из начальных условийy(0) = 0 находим постоянную интегрированияC1: 0 == C1 + k, откудаC1 =k. Тогдаи(рис.3.3).

Пример 3. Если на вход системы (пример 2) подается линейно изменяющийся сигнал (рис.3.4, а), имеем

,

при этом ;.

Подставивy2(t) в ДУ, получимC2T + C2t + C3 = kt, откуда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменнойt, имеемC2 = k,C2T + C3 = 0, и, следовательно,C3 =kT. Тогда общее решение неоднородного ДУ (рис.3.4, б)

.

При начальных условиях y(0) = 0 найдемC1 = Tk. Окончательно получим

.

Ссылка на основную публикацию
Мегафон опции за рубежом
Всем абонентам мобильной связи известно, что оплата услуг в роуминге достаточно высокая. Кроме того, нужно платить за входящие звонки. И...
Люстра с пультом управления светодиодная инструкция
Идея установить и подключить люстру с пультом замечательна тем, что хозяева квартиры получают возможность управлять освещением, не привязываясь к выключателю....
Ля рош позе скидки
12 актуальных предложений март 2020 Сэкономьте 10% с промокодом при покупке более 3000 рублей Приобретите в интернет-магазине La Roche Posay...
Мегафон отправить деньги с телефона на телефон
Каждый клиент компании Мегафон при необходимости может со своего счёта пополнить баланс близкого, который также пользуется услугами данного оператора. Для...
Adblock detector