Множество а пересекается с множеством в

Множество а пересекается с множеством в

Объединение, пересечение и разность множеств

Операция над множествами — это правило, в результате выполнения которого из данных множеств однозначно получается некоторое новое множество.

Обозначим произвольную операцию знаком *. Множество, получаемое из данных множеств А и В, записывают в виде А*В. Полученное множество и саму операцию принято называть одним термином.

Замечание. Для основных числовых операций используют два термина: один обозначает саму операцию как действие, другой — число, получаемое после выполнения действия. Например, операция, обозначаемая +, называется сложением, а число, полученное в результате сложения, — суммой чисел. Аналогично • — знак операции умножения, а результат а b — произведение чисел а и Ь. Тем нс менее часто эту разницу нс учитывают и говорят «Рассмотрим сумму чисел», имея в виду не конкретный результат, а саму операцию.

Операция пересечения. Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое АглВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит обоим множествам А и В одновременно.

Другими словами, АсВ — это множество всех .г, таких, что хеА и хеВ:

Операция объединения. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А’иВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству А или В.

Операцию объединения иногда обозначают знаком + и называют сложением множеств.

Операции разности. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых лежит в А, но не лежит В.

Выражение АпВ читают «А в пересечении с В», AkjB- «А в объединении с В», АВ — «А без В».

На основе указанных операций можно определить еще две важные операции.

Операция дополнения. Пусть AqS. Тогда разность SA называется дополнением множества А до S и обозначается As.

Пусть любое рассматриваемое множество является подмножеством некоторого множества U. Дополнение до такого фиксированного (в контексте решения той или иной задачи) множества U обозначают просто А . Также используются обозначения СА, с А, А’.

Пример 7.1.2. Дополнение множества <1, 3,4, 5, 8, 9>до множества всех десятичных цифр равно <0, 2, 6, 7>.

Дополнение множества Q до множества R есть множество 1.

Дополнение множества квадратов до множества прямоугольников есть множество всех прямоугольников, имеющих неравные смежные стороны. •

Мы видим, что операции объединения, пересечения и дополнения множеств соответствуют логическим операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Операция симметрической разности. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А®В, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит в точности одному из множеств А и В:

Нетрудно видеть, что симметрическая разность есть объединение двух множеств АВ и ВА. Это же самое множество можно получить, если вначале объединить множества А и В, а затем убрать из множества общие элементы.

Пример 7.1.3. Пусть даны действительные числа а а интервал (с; d) точку с не содержит, го число с лежит в разности [а; Ь] без [с; cf. А вот разность, например, (2;5)[3;7], число 3 не содержит, так как оно лежит в отрезке [3;7]. Имеем (2;5)[3;7]=(2;3). •

Пусть даны непересекающиеся множества А и В. Поскольку п — знак операции пересечения, то запись А(ЬВ некорректна. Неправильно также говорить, что у множеств нет пересечения. Пересечение есть всегда, оно определено для любых множеств. То, что множества не пересекаются, означает, что их пересечение пусто (то есть, выполнив указанную операцию, мы получаем пустое множество). Если же множества пересекаются, значит, их пересечение не пусто. Делаем вывод:

Обобщим операции объединения пересечения на случай, когда множеств более двух.

Пусть дана система К множеств. Пересечением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит во всех множествах их К.

Объединением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит хотя бы в одном множестве их К.

Пусть множества системы К занумерованы элементами какого-то семейства индексов /. Тогда любое множество из К можно обозначить А,-, где iel. Если совокупность конечная, то в качестве / используют множество первых натуральных чисел <1,2. и>. В общем случае / может быть бесконечным.

Тогда в общем случае объединение множеств А для всех iel обозначают (J А<, а пересечение — f]Ai.

Читайте также:  Включение планшета без кнопки включения

Пусть совокупность К конечная, тогда К= В этом случае

Пример 7.1.4. Рассмотрим промежутки числовой прямой Л| = [-оо;2], Л2=Н°; 3], Л3=[1;4), А4=(0; 2). Тогда их объединение равно множеству (-оо;4), а пересечение есть множество [ 1; 2). Убедитесь в этом самостоятельно, изобразив множества на числовой прямой. •

Используя понятие объединения произвольной совокупности множеств, можно сформулировать понятие разбиения множества на классы, определенное в пункте 6.3.

Разбиение множества S — это система непустых попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с S.

(A = B), если (A subset B) и (B subset A)

Пустое множество
(emptyset subset A)

Коммутативность операции объединения
(A cup B = B cup A)

Ассоциативность операции объединения
(A cup left(
ight) = left(
ight) cup C)

Коммутативность операции пересечения
(A cap B = B cap A)

Ассоциативность операции пересечения
(A cap left(
ight) = left(
ight) cap C)

Дистрибутивность
(A cup left(
ight) = left(
ight) cap left(

ight))
(A cap left(

ight) = left(
ight) cup left(

ight))

Идемпотентность
(A cap A = A)
(A cup A = A)

Пересечение любого множества с пустым множеством
(A cap emptyset = emptyset )

Объединение любого множества с универсальным множеством
(A cup I = I)

Объединение любого множества с пустым множеством
(A cup emptyset = A)

Пересечение любого множества с универсальным множеством
(A cap I = A)

Дополнение (дополнительное множество)
(overline A = left <
ight>)

Свойства дополнения
(A cup overline A = I)
(A cap overline A = emptyset )

Законы де Моргана
(overline <left(
ight)> = overline A cap overline B )
(overline <left(

ight)> = overline A cup overline B )

(Backslash A = Backslash left(
ight))

(Backslash A = B cap overline A )

Вычитание множества из самого себя
(Aackslash A = emptyset )

(Aackslash B = A,;если;;A cap B = emptyset )

(left(
ight) cap C = left(
ight)ackslash left(
ight))

(overline A = Iackslash A)

Прямое (декартово) произведение
(C = A imes B = left < <left(
ight) mid x in A;и;y in B>
ight>)

Разделы: Математика

Цели урока:

  • образовательные: формирование умений выделять множества, подмножества; формирование навыков находить на изображениях область пересечения и объединения множеств и называть элементы из этой области, решать задачи;
  • развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.
  • воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Учитель сообщает тему урока, совместно с учащимися формулирует цели и задачи.

3. Учитель совместно с учащимися вспоминает материал, изученный по теме «Множества» в 7 классе, вводит новые понятия и определения, формулы для решения задач.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (основатель теории множеств – Георг Кантор). КАНТОР (Cantor) Георг (1845—1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19— 20 вв.

Множество — одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс» и т. д. однако всё это было бы не математическим определением, а скорее злоупотреблением словарным богатством русского языка.

Для того чтобы определить какое – либо понятие, нужно, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего понятия, оно является, для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым признаком. Так, можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окружности т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

Множество арифметических действий — из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.

Например, если А означает множество всех натуральных чисел, то 6 принадлежит к А, а 3 не принадлежит к А.

Читайте также:  Будет ли работать старая версия скайпа

Если А — множество всех месяцев в году, то май принадлежит к А, а среда не принадлежит к А.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным. Так множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно.

Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.

Как уже упоминалось, понятие множества лежит в основе математики. Используя простейшие множества и различные математические конструкции, можно построить практически любой математический объект. Идею построения всей математики на основе теории множеств активно пропагандировал Г.Кантор. Однако, при всей своей простоте, понятие множества таит в себе опасность появления противоречий или, как ещё говорят, парадоксов. Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

Самый простой из парадоксов — это "парадокс брадобрея".

Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Парадокс.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись aR означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут aR .

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Сравнение множеств.

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:

Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество Аявляется подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: ØА и А А

В этом случае A называется подмножеством B, Bнадмножеством A. Если , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что ,

По определению ,

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга

Операции над множествами

Пересечение.

Объединение.

Свойства.

1.Операция объединения множеств коммутативна

2.Операция объединения множеств транзитивна

3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств

1. Пусть A = <1,2,3,4>,B = <3,4,5,6,7>. Тогда

2. А=<2,4,6,8,10>, В = <3,6,9,12>. Найдём объединение и пересечение этих множеств:

<2,4,6,8, 10,3,6,9,12>, = <6>.

3. Множество детей является подмножеством всего населения

4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных чисел.

6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Диаграммы Венна (Venn diagrams) — общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики: теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера,

Диаграмма Венна четырёх множеств.

Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами, представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.

Читайте также:  Вход на авито в свой кабинет

Диаграммы Эйлера

Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна. Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.

Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 — 17 = 13 человек.

Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

Задачи на пересечение и объединение множеств.

  1. Даны множества А = <3,5, 0, 11, 12, 19>, В = <2,4, 8, 12, 18,0>.
    Найдите множества AU В,
  2. Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества
    А -<к,а,р,у,с,е,л,ь>.
  3. Пусть A — это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В — множество натуральных чисел, делящихся на 4. Какой вывод можно сделать относительно данных множеств?
  4. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий язык, а 23 — оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?
  5. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 — ли­монад, а 15 — и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
  6. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
  7. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в на­шем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?
  8. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимают­ся спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а тенни­сом — 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько тенниси­стов играет в футбол?
  9. 65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не прочь по­лакомиться капустой?
  10. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое любят груши и черешню; 6 — груши и яблоки; 5 -яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учени­ков этого класса любят яблоки?
  11. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время до­брых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?
  12. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике — 12; по ис­тории — 23. По русскому и математике — 4; по математике и исто­рии — 9; по русскому языку и истории — 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
  13. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испан­ский, 75 — немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним ино­странным языком. Среди них нет таких, которые знают два ино­странных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?
  14. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 — в Англии; в Англии и Италии — 5; в Англии и Фран­ции — 6; во всех трех странах — 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?
Ссылка на основную публикацию
Мегафон опции за рубежом
Всем абонентам мобильной связи известно, что оплата услуг в роуминге достаточно высокая. Кроме того, нужно платить за входящие звонки. И...
Люстра с пультом управления светодиодная инструкция
Идея установить и подключить люстру с пультом замечательна тем, что хозяева квартиры получают возможность управлять освещением, не привязываясь к выключателю....
Ля рош позе скидки
12 актуальных предложений март 2020 Сэкономьте 10% с промокодом при покупке более 3000 рублей Приобретите в интернет-магазине La Roche Posay...
Мегафон отправить деньги с телефона на телефон
Каждый клиент компании Мегафон при необходимости может со своего счёта пополнить баланс близкого, который также пользуется услугами данного оператора. Для...
Adblock detector