Модели ограниченного и неограниченного роста 11 класс

Модели ограниченного и неограниченного роста 11 класс

В данном листке предлагаются различные модели роста популяций биологических видов. Математическими методами можно предсказать скорость развития эпидемии, изменение популяций животного и растительного мира. Аналогичные методы используются для определения размера промысла (например, объемов рыбной ловли), не наносящего серьезного урона популяции.

Для каждой предложенной модели необходимо получить в Calc численные данные изменения популяции, построить графики изменения популяции, посмотреть на изменения картины в зависимости от начальных размеров популяции и параметров модели, сделать выводы.

1. Модель неограниченного роста

Пусть популяция состоит только из одного вида. Моделирование численности популяции будем производить по периодам, например, месяцам или годам.

В первой, самой простейшей модели, популяция не имеет никаких ограничений по росту. Обозначим размер популяции в период (N) через (x_N). Выразим размер популяции в следующий период времени (x_) через (x_N). В модели неограниченного роста прирост популяции пропорционален размеру самой популяции, поэтому (x_=ax_N), где (a) – некоторый коэффициент. Например, если ежегодный прирост популяции составляет (2\%), то (a=1<,>02). Значение (a>1) соответствует росту популяции, значение (a 0). Осталось только заметить, что для жертв (a_1>1), поскольку в отсутствии встречи с хищником популяция жертв будет расти, а вот для хищников (a_2 1), (a_2>1), (c_1 0), (c_2>0), (b_1>c_1), (b_2>c_2) (эти неравенства нужны чтобы избежать ситуации бесконечного роста популяций).

Постройте симбиотическую модель для следующих параметров: (x_1=1000), (a_1=1<,>06), (b_1=5cdot10^<-4>), (c_1=10^<-5>), (y_1=1000), (a_2=1<,>03), (b_2=10^<-5>), (c_2=10^<-6>).

Поменяйте начальные размеры популяций и параметры популяций.

7. Эпидемия

В городе проживает (10^6) человек, один из которых заболевает инфекционной болезнью. Продолжительность болезни – 7 дней, через 7 дней человек выздоравливает и перестает быть заразным для окружающих. Выздоровевший человек повторно не заболевает.

Количество новых заболевших в течение дня пропорционально числу встреч больных и здоровых, то есть равно (k imes ext <число восприимчивых> imes ext <число больных>), где число восприимчивых – это количество жителей, не заболевших до этого, число больных – количество заболевших в течение 7 последних дней. Значение коэффициента (k) положим равным (3 imes 10^<-7>).

Постройте модель развития эпидемии. Постройте графики числа заболевших в течение дня, числа восприимчивых и переболевших людей.

Ответьте на вопросы:
1. Сколько дней будет продолжаться эпидемия?
2. На какой день будет пик развития эпидемии?
3. Какое число людей заболеет в день пика развития эпидемии?
4. Сколько людей переболеет в итоге?

8. Система из трех видов

Постройте модель из трех биологических видов: растительность, травоядные, хищники.

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемГеоргий Тормозов

Похожие презентации

Презентация на тему: " В биологии для изучения динамики численности популяции в зависимости от воздействия различных факторов выделяют модели – неограниченного роста, ограниченного." — Транскрипт:

2 В биологии для изучения динамики численности популяции в зависимости от воздействия различных факторов выделяют модели – неограниченного роста, ограниченного роста, модель типа «хищник-жертва»

3 Популяция – это совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию

4 В модели неограниченного роста рассчитывается численность популяции через какое-то время при известном проценте ежегодного прироста. Исходные данные: Начальная численность популяции; K — процент ежегодного прироста

5 Исходные данные: Начальная численность популяции ; K — процент ежегодного прироста Математическая модель имеет вид Где численность популяции через t лет

6 В модели ограниченного роста имеют факторы, как нехватка питания, болезни и др., связанные с перенаселенностью, которые замедляют рост популяции. Если ввести коэффициент перенаселенности, то математическая модель имеет вид

7 В модели ограниченного роста учитывается ежегодный отлов промысловых животных и рыб. d – величина ежегодного отлова

8 В модели «хищник-жертва» количество жертв N и количество хищников С связаны между собой. f – коэффициент, характеризующий возможность гибели жертвы при встрече с хищниками.

9 Все живые организмы теоретически способны к очень быстрому увеличению численности. При неограниченных ресурсах и отсутствии гибели от болезней, хищников и т.п. даже при низкой исходной численности популяция любого вида за сравнительно короткий срок может так вырасти, что покроет весь земной шар сплошным слоем. Способность к увеличению численности за данный промежуток времени называют биотическим потенциалом вида

10 У разных видов биотический потенциал разный: у крупных млекопитающих численность может возрастать в год лишь в 1,05 — 1,1 раза, а у мелких насекомых (рачков, дафний) численность в год может возрасти в раз. А у бактерий и одноклеточных водорослей еще быстрее. Во всех этих случаях, при идеальных условиях численность будет расти в геометрической прогрессии и график изменения численности будет представлять собой экспоненту. Рост численности в геометрической прогрессии называется экспоненциальным ростом.

Читайте также:  Как установить виджет на телевизор samsung

11 В лабораторных условиях наблюдать экспоненциальный рост можно в популяциях дрожжей, водоросли хлореллы, бактерий на начальных стадиях роста. В природе экспоненциальный рост наблюдается при вспышках саранчи, непарного шелкопряда и других насекомых. Экспоненциально может расти численность животных, заселенных в новую местность, где у них мало врагов и много пищи ( классический пример — рост численности кроликов, завезенных в Австралию). Во всех этих случаях экспоненциальный рост наблюдается в течение коротких промежутков времени, после чего скорость роста численности снижается.

12 Построим модель неограниченного роста амеб. Постановка задачи: Одноклеточная амеба делится каждые 3 часа на двое. Построить модель роста численности клеток через 3,6,9,12. часов. Факторы, приводящие к гибели амеб не учитываются. Математическая модель Формула нарастания времени : T(I+1)=T(I)+A А — интервал нарастания времени (для амеб он равен 3) Формула для расчета численности амеб K(I+1)=K(I)*B где K(I) — численность амеб в I-й промежуток времени, K(I+1) — количество амеб в I+1 -й момент времени, B — биотический потенциал амеб (он равен 2 для промежутка времени 3 часа )

13 ABCDE 1 Интервал времени 3 Биотический потенциал 2 Начальное значение 10 2 Начальное время 0 =A2+$A$1=B2+$A$1=C2+$A$1=D2+$A$1 3=$C1=A3*$B$1=B3*$B$1=С3*$B$1=D3*$B$1 Компьютерная модель

14 Используя формулу ограниченного роста с отловом, составить модель роста популяции данного вида, если Коэффициент перенаселенности равен 3% Величина ежегодного отлова равна 55 особей

15 Домашняя работа П2. стр Составить модель популяции данного вида, если Коэффициент перенаселенности равен 3% Величина ежегодного отлова равна 55 особей

1. Исходные положения или отправные точки.

“Если человеку каждый раз, столкнувшись с очередной жизненной задачей, приходилось бы с нуля решать ее, то едва ли прогресс человечества достиг бы сегодняшних высот. Разумеется, каждый человек и общество в целом опирается на опыт предшествующих поколений”.

Эта цитата из учебника “Информатика 10–11” авторов А. Г. Гейн, А. И. Сенокосов, Н. А. Юнерман является главной отправной точкой представляемой здесь работы.

Моя цель – рассказать о том, как выстраивается единая линия в изучении темы “Компьютерные модели” в 6 классе МБОУ – Лицей № 4 г. Краснодар.

На тему отводится 8 часов в течение третьей учебной четверти. Заметим, что в первой четверти учащиеся знакомятся с электронными таблицами. Во второй четверти изучается теоретический материал по теме “ Моделирование”. Учащиеся понимают значения терминов, знают этапы решения задачи с применением компьютера. Знакомы с понятием “адекватность модели”.

В процессе изучения темы “Компьютерные модели” ученики выполняют практические работы в среде электронных таблиц, логическим завершением которых являются задача о разумном подходе к потреблению природных ресурсов. Решая задачу “Прирост массы растений”, дети постепенно уточняют и совершенствуют модели, последовательно применяя “Модель неограниченного роста”, “Модель ограниченного роста”, “Модель потребления возобновляемых ресурсов”. Причем переход к модели другого вида логически обоснован.

В результате завершения работ по всему циклу и опираясь на результаты компьютерного моделирования, дети с большим удовольствием отвечают на вопрос: “Сколько можно брать у живой природы, чтобы ее запасы не истощались?”, что само по себе имеет большое воспитательное значение, акцентирует внимание на бережном отношении к окружающей среде и находит отклик в душах детей среднего школьного возраста.

2. Рост числа фазанов. Модель неограниченного роста.

Сформулируем задачу. В 1937 г. на остров Протекшн завезли 8 фазанов. Никто на этих фазанов не охотился (ни люди, ни звери), корма и воды было вдоволь, и через год фазанов стало 26, а еще через год их было 83. Сколько будет фазанов через заданное число лет?

I. Постановка задачи.

Для решения нашей задачи мы намерены использовать компьютер, значит, надо строить компьютерную модель. Выделим существенные факторы.

Окружающая среда выступает как регулятор прироста количества фазанов. Факторов, влияющих на жизнь фазанов много и все их учесть в принципе невозможно. Поэтому условимся рассматривать воздействие окружающей среды на численность популяции фазанов как черный ящик

Черный ящик имеет один вход – численность фазанов на начало года и один выход – число фазанов по прошествии года. Естественно также предположить, что прирост числа фазанов через год пропорционален уже имеющемуся количеству особей, что вполне согласуется с обычными представлениями о размножении.

Таким образом, мы выделяем два существенных фактора:

Начальное количество – М0 и коэффициент прироста за 1 год – К.

II. Создание математической модели.

Число фазанов по истечению n лет обозначим Mn , тогда прирост за один год составит Mn+1 – Mn или К* Mn

Установим связь между параметрами модели: Mn+1 = Mn *(К+1)

Читайте также:  Quad core cortex a7 характеристики

Построенную модель называют моделью неограниченного роста.

Сформулируем выводы. Мы построили модель неограниченного роста. Легко заметить, что численность особей растет в геометрической прогрессии, с учетом исходного предположения о том, что действие окружающей среды сказывается только на скорости прироста фазанов. Нетрудно предположить, что применить эту модель можно и для любых других живых организмов. (Смотри Приложение 1, Приложение 2)

3. Прирост массы растений Модель неограниченного роста.

Решая предыдущую задачу, мы построили модель неограниченного роста – модель некоторого природного процесса, пригодную для любых живых организмов, участвующих в этом процессе. Применим эту модель для решения другой задачи. “Прирост массы растений”.

Сформулируем задачу. Используя модель неограниченного роста, проследить за изменением массы растений двух климатических зонах: тундре и тайге.

I. Постановка задачи.

Очевидно, что масса растений на различных территориях будет увеличиваться с разной скоростью. Будем использовать значения коэффициента размножения, экспериментально полученные учеными – биологами для растений в различных природных зонах.

Пусть первоначальная масса растений на некотором участке в каждой из климатических зон равнялась 1 тонне. Напомним два существенных фактора для решения нашей задачи: Начальная масса растений – М0 и коэффициент прироста за 1 год – К

II. Математическая модель.

Будем использовать уже знакомую нам модель неограниченного роста Mn+1 = Mn *(К+1)

IV. Компьютерный эксперимент.

Подготовим таблицу для записи результатов четырех опытов.

Опыт Природная зона Тундра Тайга
Коэффициент прироста 0,6 1,8
Начальная масса растений (т) 1 1
1 Опыт 1: Через сколько лет масса растений превысит 100 т? 10 лет 5 лет
2 Опыт 2: Через сколько лет масса растений превысит 1000 т? 15 лет 7 лет
3 Опыт 3: Через сколько лет масса растений превысит 10 000 т? 20 лет 9 лет
4 Опыт 4: Через сколько лет масса растений превысит массу Земли 5 976 000 000 000 000 000 000 т? 107 лет 49 лет

Построим диаграммы для наглядного представления процесса роста растений в тундре для опытов 1, 2 и 3. (Смотри Приложение 3, Приложение 4)

Сформулируем выводы. В течение жизни одного поколения вся планета превратится в “зеленое море” растений! Есть над чем призадуматься. Видно не все удачно в построенной нами модели. Напомним, что первоначально мы условились о том, что окружающая среда оказывает влияние только на скорость прироста числа особей или массы растений.

Принцип адекватности модели говорит еще и о том, что никакая модель не эквивалентна реальному объекту (процессу или явлению). Проблема адекватности – одна из самых трудных.

Модель неограниченного роста хорошо согласуется с практикой, пока масса живых организмов остается достаточно малой.

В некоторых случаях, когда коэффициент прироста невелик и мала начальная масса, это условие может выполняться годами, так, что экспериментально опровергнуть такую модель бывает довольно трудно. Но в нашем случае налицо нарушение фундаментального закона природы – закона сохранения массы. Продолжим работу над совершенствованием модели.

4. Прирост массы растений. Модель ограниченного роста.

Почему же, однажды родившись, модели не живут вечно? Некоторые из них исчезают, едва появившись на свет. Другие живут столетиями. Но даже модели, построенные лучшими умами человечества, вся равно сменяются другими. Что управляет этой сложной жизнью моделей?

Прежде всего: растут знания человека об окружающем мире, вот и меняются модели. И второе: смена модели может происходить и в силу того, что она не согласуется с более общими законами, открытыми человеком при исследовании природы и общества.

Именно так и случилось, когда мы исследовали рост растений, опираясь на модель неограниченного роста. Выявилось нарушение фундаментального закона природы – закона сохранения массы. Быстрый рост массы растений можно было заранее предвидеть, исходя из математических свойств геометрической прогрессии. Модель оставалась адекватной только при малой начальной массе и малой величине коэффициента прироста.

Продолжим уточнение модели. Конечно, ни при каких, даже самых благоприятных, условиях масса растений не может превысить массу планеты. Выдвинем предположение, что имеется некоторое предельное значение массы растений, “проживающих” на той или иной территории. Так, ученые показали, что запас массы растений не может превосходить 20 т на гектар в полярной зоне и 350 т на гектар в лесной зоне. Это означает, что рост растений ограничен.

И еще одно предположение: чем ближе масса растений к предельно допустимой, тем меньшим становится коэффициент прироста К, т.к. Сначала растения быстро набирают массу, а затем их рост замедляется. Совершенствуя модель, ученые – биологи предложили использовать новую величину – коэффициент пропорциональности А.

Читайте также:  Как перезагрузить планшет samsung

Сформулируем задачу. Используя модель ограниченного роста, проследить за изменением массы растений двух климатических зонах: тундре и тайге.

I. Постановка задачи.

Начальная масса растений – М0

Коэффициент прироста за 1 год – Кn

Предельное значение массы живых организмов – L

Коэффициент пропорциональности – А

II. Математическая модель.

Зададим связи между параметрами модели:

Коэффициент прироста будет меняться по формуле Кn=А*(L – Mn ),

где коэффициент пропорциональности находится из соотношения А= К/(L – M).

Эту модель принято называть моделью ограниченного роста.

IV. Компьютерный эксперимент.

Подготовим таблицу для записи результатов трех компьютерных экспериментов. Сравним новые результаты, полученные при испытании модели ограниченного роста с результатами аналогичных опытов, полученных при работе с моделью неограниченного роста Проанализируем результаты и сделаем выводы.

Природная зона Неограниченный рост Ограниченный рост
Тундра Тайга Тундра Тайга
1 Опыт 1: Через сколько лет масса растений превысит 100 т? 10 лет 5 лет 10 лет 5 лет
2 Опыт 2: Через сколько лет масса растений превысит 1 000 т? 15 лет 7 лет 15 лет 7 лет
3 Опыт 3: Через сколько лет масса растений превысит 10 000 т? 20 лет 9 лет 23 года 10 лет

Построим диаграммы для наглядного представления процесса роста растений в тундре для опытов 1, 2 и 3. Сравним с ранее построенными диаграммами. (Смотри Приложение 5, Приложение 6).

Сформулируем выводы. Так как для решения задачи применяется модель ограниченного роста, то наблюдается ежегодное уменьшение коэффициента прироста, что не может не сказаться на величине массы растений. Результаты первых двух опытов при относительно малых массах растений совпадают. Результаты третьего эксперимента говорят о том, что наряду с увеличением массы растений стало наблюдаться замедление их роста.

5. Сколько можно брать у природы? Модель потребления возобновляемых ресурсов. Управление процессами.

Человек, познавая природу и общество, все активнее и шире вмешивается в действие факторов, влияющих на функционирование этих систем. Влияние это, чаще сознательное, преследует цель – заставить систему функционировать нужным человеку образом, то есть управлять системой. Компьютерное моделирование может применяться и для решения задач управления.

Рассмотрим проблему добычи леса. Лес относится к так называемым возобновляемым ресурсам. Возникает задача управления: сколько леса можно рубить ежегодно, чтобы обеспечить его нормальное воспроизводство?

За основу для решения задачи возьмем уже знакомую нам модель ограниченного роста. Отметим, что появился еще один существенный фактор – воздействие человека. Будем считать, что объем вырубаемого леса в течение года не меняется, поэтому формула изменится незначительно:

где R – это объем вырубки.

Такую модель называют моделью потребления возобновляемых ресурсов.

Сформулируем задачу. Используя модель потребления возобновляемых ресурсов, найти оптимальный объем вырубки, при котором будет обеспечено его нормальное воспроизводство.

I. Постановка задачи.

Решать задачу будем только для одной климатической зоны – тайги.

Начальная масса растений – М0

Коэффициент прироста за 1 год – Кn

Предельное значение массы живых организмов – L

Коэффициент пропорциональности – А

Объем вырубки – R

II. Математическая модель.

Удобно рассмотреть еще одну величину: ежегодный прирост – Р

Зададим связи между параметрами модели:

Коэффициент прироста будет меняться по формуле Кn=А*(L – Mn ),

где коэффициент пропорциональности находится из соотношения

Ежегодный прирост рассчитывается по формуле Р= Mn *А*(L – Mn )

IV. Компьютерный эксперимент.

Опыт Природная зона Тайга
1 Опыт 1: Объем ежегодной вырубки древесины 1 000 т Через определенный промежуток времени наступает равновесие: величина прироста в точности совпадает с забираемой массой и равна 1 000 т. Масса древесины равна 10 413 т, что превышает начальный уровень 10 000 т
2 Опыт 2: Объем ежегодной вырубки древесины 3 000 т

Через несколько лет наступает равновесие: величина прироста в точности совпадает с забираемой массой и равна 3 000 т. Масса древесины равна 8 952 т, что меньше начального уровня 10 000 т 3 Опыт 3: Объем ежегодной вырубки древесины 5 000 т Равновесие в природе не наступает. Уровень прироста меньше объема вырубки древесины. Через 30 лет лес погибнет . 4 Опыт 4: Найти оптимальный объем ежегодной вырубки леса, при котором будет сохраняться его нормальное воспроизводство Оптимальный объем составляет 1637 т ежегодно. При этом в природе

наступает равновесие. Масса древесины равна начальной массе 10 000 т.

Мы нашли ответ на вопрос: “Сколько можно брать у живой природы, чтобы ее запасы не истощались?” Для того чтобы, ресурсы возобновлялись, можно производить вырубку леса в объемах, не превышающих 1 637 т ежегодно при начальной массе 10 000 т.

Ссылка на основную публикацию
Могут ли задержать в армии больше срока
Поступил на военную службу по призыву 6.07.2011 года, заключил контракт 31.12.2011 года, отправили на обязательные курсы для перехода в новый...
Мегафон опции за рубежом
Всем абонентам мобильной связи известно, что оплата услуг в роуминге достаточно высокая. Кроме того, нужно платить за входящие звонки. И...
Мегафон отправить деньги с телефона на телефон
Каждый клиент компании Мегафон при необходимости может со своего счёта пополнить баланс близкого, который также пользуется услугами данного оператора. Для...
Модели ограниченного и неограниченного роста 11 класс
В данном листке предлагаются различные модели роста популяций биологических видов. Математическими методами можно предсказать скорость развития эпидемии, изменение популяций животного...
Adblock detector