Модуль суммарного момента сил

Модуль суммарного момента сил

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 2.1). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m1, m2, …, mn находящиеся на расстоянии r1, r2 …, rn от оси.

Угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

(2.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму энергий его элементарных объемов:

Используя выражение (2.1), получаем

где Jx – момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где т – масса катящегося тела;

Jc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;

§3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тепа

Моментом силы F относительно точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки O в точку A приложения силы, на силу F (рис. 3.1):

Здесь Мпсевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F.

Модуль момента силы

(3.1)

– кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой Oплечо силы.

Моментом силы F относительно оси z называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки O данной оси x (рис. 2.2). Значение момента М, не зависят от выбора положения точке O на ось z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы:

Выражение для работы при вращении тела (рис. 3.3):

(3.2)

Учитывая (3.1), можем записать

где — момент силы относительно осиz.

Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела вдет на увеличение его кинетической энергии:

но , поэтому, или .

Учитывая, что , получаем:

(3.3)

Уравнение (3.3) представляет собой уравнение динамики вращательного твердого тела относительно неподвижной оси.

Или в векторном виде:

(3.4)

где J – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

§4. Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса (количеством движения) материальной точки A относительно неподвижной точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

где r – радиус-вектор, проведённый из точки O в точку A;

–импульс материальной точки (рис. 4.1.);

L – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p.

Модуль вектора момента импульса:

l – плечо вектора p относительно точки O.

Моментом импульса материальной точки A относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса. Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки O на оси Z.

Моментом импульса материальной точки:

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных материальных точек:

Используя формулу , получим:

Продифференцировав последнее уравнение по времени, получим:

т.е. .

Это выражение — ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

В замкнутой системе момент внешних сил M=0 и , откуда:

.

Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не меняется с течением времени.

Основная связь между величинами и уравнениями, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательном движении:

Момент силы относительно некоторой точки — это векторное произведение радиус-вектора r → , проведенного от этой точки к точке приложения силы, на силу F → :

Когда говорят о моменте силы относительно оси, проведенной через указанную точку, имеют в виду скалярную величину, равную проекции момента силы на указанную ось.

В Международной системе единиц момент силы измеряется в ньютонах, умноженных на метр (1 Н ⋅ м).

Модуль момента силы вычисляется по формуле

Читайте также:  Amd fx 8350 или intel core i5

где r — длина радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы; F — модуль приложенной к телу силы; α — угол между векторами r → и F → .

Точка O , относительно которой рассчитывается момент приложенной к телу силы F → , может находиться как на самом теле (рис. 4.3), так и вне его (рис. 4.4). Радиус-вектор r → проводят от точки O к точке приложения силы F → .

На рисунках показано, как правильно определять угол α между указанными векторами в случаях их различного взаимного расположения.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от линии действия силы (продолжение вектора силы в пространстве) до точки O (рис. 4.5).

Плечо силы представляет собой произведение

где r — длина радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы; α — угол между векторами r → и F → .

Модуль момента силы может быть записан в виде:

где d — плечо силы; F — модуль приложенной силы.

Направление момента силы определяют по правилу правого винта : направление момента M → совпадает с поступательным движением правого винта, если его рукоятку вращать от r → (радиус-век­тор, проведенный от оси к точке приложения силы) к F → (приложенная сила) по наименьшему углу.

Пример 10. Однородная лестница длиной 12 м и массой 24 кг приставлена к стене и образует с полом угол 60°. Определить момент силы тяжести относительно оси, проходящей через нижний конец лестницы параллельно ее ступенькам.

Решение . Лестница является однородной; следовательно, центр тяжести лестницы находится в ее середине.

На рисунке показаны:

  • сила тяжести, действующая на лестницу;
  • радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке приложения силы;
  • угол α между указанными векторами.

Модуль момента силы тяжести относительно указанной оси определяется по формуле

где F = mg — модуль силы тяжести; r = l /2 — модуль радиус-вектора; l — длина лестницы; α = ( 90 ° + β ) — угол между вектором силы тяжести и радиус-вектором точки ее приложения относительно заданной оси; β — угол между лестницей и полом.

С учетом выражений для модулей силы тяжести, радиус-век­тора и угла между ними формула для расчета модуля момента силы тяжести в явном виде выглядит следующим образом:

M = m g l 2 sin 150 ° .

M = 24 ⋅ 10 ⋅ 12 2 ⋅ 0,5 = 0,72 ⋅ 10 3 Н ⋅ м = 0,72 кН ⋅ м.

Направление момента силы тяжести определяется по правилу правого винта: вращаем правый винт от радиус-вектора к вектору силы по наименьшему углу (против часовой стрелки); направление поступательного движения винта («к нам») совпадает с направлением данного момента; указанное направление на рисунке обозначено ⊙ M → .

Пример 11. Пластина в форме однородного диска площадью 314 см 2 закреплена на горизонтальной оси таким образом, что диаметр диска, проведенный через точку крепления, горизонтален и перпендикулярен оси вращения. Найти величину момента силы тяжести, если масса пластины составляет 300 г.

Решение . Пластина является однородной; следовательно, центр ее тяжести находится в геометрическом центре круга.

На рисунке показаны:

  • сила тяжести, действующая на пластину;
  • радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке приложения силы;
  • угол α между указанными векторами.

Модуль момента силы тяжести относительно указанной оси определяется по формуле

где F = mg — модуль силы тяжести; r = R — модуль радиус-вектора; R — радиус круга; α = 90° — угол между вектором силы тяжести и радиус-вектором точки ее приложения относительно заданной оси.

С учетом выражений для модулей силы тяжести, радиус-век­тора и угла между ними формула для расчета модуля момента силы тяжести приобретает вид:

M = m g R sin 90 ° .

Определим радиус пластины, используя выражение для площади круга:

Отсюда следует, что радиус круга определяется по формуле

Подставим данное выражение в формулу для вычисления модуля момента силы тяжести:

Читайте также:  Колонки genius sp s110 схема принципиальная

M = m g S π sin 90 °

и рассчитаем его значение:

M = 300 ⋅ 10 − 3 ⋅ 10 314 ⋅ 10 − 4 π ⋅ 1 = 0,3 Н ⋅ м = 300 мН ⋅ м.

Направление момента силы тяжести определяется по правилу правого винта: вращаем правый винт от радиус-вектора к вектору силы по наименьшему углу (по часовой стрелке); направление поступательного движения винта («за плоскость чертежа», «от нас») совпадает с направлением данного момента; указанное направление на рисунке обозначено ⊗ M → .

Пример 12. Палочка в виде тонкого однородного цилиндра длиной 60 см и площадью поперечного сечения 3,0 см 2 закреплена на оси вращения верхним концом. Нижний конец палочки опущен в воду плотностью 1,0 г/см 3 и погружен в нее на 1/3 длины. Вычислить модуль момента силы Архимеда, действующей на палочку, относительно горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно палочке через ее верхний конец, при отклонении палочки от вертикали на 30°.

Решение . Сила Архимеда действует на погруженную в воду часть палочки и приложена к середине погруженной части.

На рисунке показаны:

  • сила Архимеда, действующая на погруженную в воду часть палочки;
  • радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке приложения силы;
  • угол α между указанными векторами.

Модуль момента силы Архимеда относительно указанной оси определяется по формуле

где F = F A = ρ 0 g V ′ — модуль силы Архимеда; ρ 0 — плотность воды; g — модуль ускорения свободного падения; V ′ = 1 3 V — объем погруженной части палочки; V — объем палочки; r = 5 6 l — модуль радиус-вектора; l — длина палочки; α = 180 ° − 30 ° = 150 ° — угол между вектором силы Архимеда и радиус-вектором точки ее приложения относительно заданной оси.

С учетом выражений для модулей силы Архимеда, радиус-век­тора и угла между ними формула для расчета модуля момента силы Архимеда приобретает вид:

M = ( 1 3 ρ 0 g V ) ( 5 6 l ) sin 150 ° = 5 18 ρ 0 g V l sin 30 ° .

Объем палочки представим в виде произведения

и подставим в выражение для расчета модуля момента силы Архимеда:

M = 5 18 ρ 0 g S l 2 sin 30 ° ,

где S — площадь поперечного сечения палочки.

M = 5 18 ⋅ 1,0 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 3,0 ⋅ 10 − 4 ( 60 ⋅ 10 − 2 ) 2 ⋅ 0,5 = 0,15 Н ⋅ м.

Направление момента силы Архимеда определяется по правилу правого винта: вращаем правый винт от радиус-вектора к вектору силы по наименьшему углу (против часовой стрелки); направление поступательного движения винта («к нам») совпадает с направлением данного момента; указанное направление на рисунке обозначено ⊙ M → .

В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.

Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы, действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.

где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело.

Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.

Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.

Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты. Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и момент инерции. В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.

Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:

Читайте также:  Кабель с разъемом тюльпан

Как в каждом векторном произведении, так и здесь

Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0 o или 180 o . Каков эффект применения момента силы М?

Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу

Умножив обе части уравнения на R, получим

Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что

Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a, момент внешней силы дает угловое ускорение ε.

Единица измерения момента силы

Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н•м

Работа и сила во вращательном движении

Работа в линейном движении определяется общим выражением,

но во вращательном движении,

Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать

Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:

Мощность во вращательном движении:

Момент силы пример и решение задач относительно точки

Найдите момент силы, действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.

а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1:

M = r • F = 1м • 2N = 2Н • м

б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0:

M = 0
да направленная сила не может дать точке вращательное движение.

c) поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5:

M = 0,5 r • F = 1Н • м.

Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела, однако ее эффект будет меньше, чем в случае a).

Момент силы относительно оси

Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P. В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р), (рисунок ниже).

Любая точка A на линии P имеет координаты (xo , yo , zo ).
Вектор силы P имеет координаты Px , Py, Pz. Комбинируя точку A (xo, yo, zo ) с началом системы, мы получаем вектор p. Координаты вектора силы P относительно полюса O обозначены символами Mx, My, Mz. Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где ( i, j, k) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k

После решения определителя координаты момента будут равны:

Координаты вектора моментов Mo (P) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:

Mz = Pyxo — Pxyo

Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже.

На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz можно определить, как момент проекции силы P на перпендикуляр оси Oz относительно точки проникновения этой плоскости осью. Проекция силы P на перпендикуляр оси обозначена Pxy, а точка проникновения плоскости Oxy — осью символом O.
Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось).
Используя формулы на Mx, My, Mz, мы можем рассчитать значение момента силы P относительно точки O и определить углы, содержащиеся между вектором M и осями системы:

Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).

Момент силы P по отношению к точке (полюсу) O составляет:
Mx = 0,
My = 0,
Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo.

Метка крутящего момента:
плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке,
минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.

Ссылка на основную публикацию
Могут ли задержать в армии больше срока
Поступил на военную службу по призыву 6.07.2011 года, заключил контракт 31.12.2011 года, отправили на обязательные курсы для перехода в новый...
Мегафон опции за рубежом
Всем абонентам мобильной связи известно, что оплата услуг в роуминге достаточно высокая. Кроме того, нужно платить за входящие звонки. И...
Мегафон отправить деньги с телефона на телефон
Каждый клиент компании Мегафон при необходимости может со своего счёта пополнить баланс близкого, который также пользуется услугами данного оператора. Для...
Модели ограниченного и неограниченного роста 11 класс
В данном листке предлагаются различные модели роста популяций биологических видов. Математическими методами можно предсказать скорость развития эпидемии, изменение популяций животного...
Adblock detector