Момент инерции плоской прямоугольной пластины

2018-11-09
Однородная тонкая квадратная пластина массой $M$ со стороной $a$ свободно подвешена за одну из вершин и колеблется в собственной плоскости в поле силы тяжести. В каком месте диагонали, проходящей через точку подвеса пластины (кроме, конечно, самой точки подвеса), к пластине можно приклеить точечную массу $m$ так, чтобы движение пластины не изменилось? Момент инерции квадратной пластины массой $M$ со стороной $a$ относительно оси, перпендикулярной к пластине и проходящей через ее центр О, равен $I_ <0>= 1/6 Ma^<2>$.

Прежде всего следует определить момент инерции пластины относительно фактической оси вращения. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Штейнера, а также следующим образом. Представим себе пластину (рис.) массой $4M$ со стороной $2a$.

Согласно условию, момент инерции $I^< prime>$ этой пластины относительно точки О равняется

С другой стороны, момент инерции системы тел относительно заданной оси равен сумме моментов инерции этих тел относительно той же оси (аддитивность момента инерции). Следовательно,

где $I$ — момент инерции пластины, имеющей массу $M$ и сторону $a$, относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через вершину квадрата. Используя сказанное выше, определим $I$:

Запишем теперь уравнение движения нашего физического маятника. Угол отклонения диагонали, проходящей через ось вращения, от вертикали обозначим через $alpha$ (рис). Угловое ускорение пластины — через $epsilon$. Согласно второму закону механики, для вращательного движения справедливо соотношение

Подставив в это соотношение значение $I$ и учитывая, что $epsilon =d^ <2>alpha /dt^<2>$, получим уравнение, описывающее движение нашего маятника (т. е. зависимость $alpha$ от $t$):

Рассмотрим теперь математический маятник длиной $l$. Если не ограничиваться малыми колебаниями, то для математического маятника получим следующее уравнение движения:

Уравнения (1) и (2) будут идентичными, если положить $l = (2 sqrt<2>/3)a$. Идентичность уравнений означает, что при одинаковых начальных условиях (т. е. при одинаковых начальных отклонениях и скоростях) движение обоих маятников будет одинаковым.

Представим теперь пластину (физический маятник) и математический маятник длиной $l = (2 sqrt<2>/3)$ колеблющиеся вместе в одной плоскости относительно одной и той же оси. Если пластину и математический маятник отклонить от положения равновесия на один и тот же угол и отпустить, то зависимость $alpha(t)$ для обоих маятников будет одинаковой. Конкретный вид функции $alpha(t)$ не имеет для нас значения. Важно то, что конец математического маятника все время будет находиться возле одной и той же точки пластины. Если так, то можем его «приклеить» к пластине и движение при этом не изменится. Следовательно, прикрепление точечной массы т на диагонали на расстоянии, равном 2/3 длины диагонали от оси вращения, не влияет на движение пластины; очевидно, что добавленная масса имеет нулевую скорость относительно пластины.

Особенностью приведенного решения является то, что оно в равной мере справедливо как для малых, так и для больших амплитуд колебаний.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8

Диск Прямоугольник Равностор. треугольник

Краткие теоретические сведения

При условии малых колебаний, т. е. рад, колебания диска можно считать гармоническими с периодом :

(1)

Пусть диск поднялся на максимальную высоту

Тогда приращение потенциальной энергии равно:

При последующем вращении диска потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения

,

где – момент инерции тела относительно оси вращения, w – угловая скорость вращения.

В момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия принимает максимальное значение, и, пренебрегая трением, можно записать закон сохранения энергии:

Угловую скорость диска можно найти, взяв производную от j из (1):

тогда . (3)

Величину h можно найти, считая, что при повороте диска на малый угол можно приблизительно считать, что . Тогда

, (4)

где учтено, что (см. рис.1)

, , , а также, что вследствие малости угла , синус можно заменить значением самого угла в радианах.

В результате подстановки (4) и (3) в (2), получим расчётную формулу для момента инерции маятника массой :

(5)

По зависимости (5) можно рассчитать момент инерции как нагруженного исследуемой пластиной, так и ненагруженного диска В. Тогда, вследствие аддитивности, момент инерции исследуемого тела (пластины) легко определяется по формуле:

(6)

где и – массы ненагруженного диска и исследуемой пластины соответственно, а и – период колебаний ненагруженного и нагруженного диска соответственно.

Момент инерции есть мера инертности тела при его вращательном движении. Это значит, что чем больше момент инерции, тем больший момент сил необходимо приложить к телу, чтобы заставить тело вращаться, если оно покоилось, или остановить, если вращалось.

Момент инерции материальной точки: , где – масса точки, а R – расстояние от нее до оси вращения. Момент инерции– величина аддитивная, т. е. момент инерции системы материальных точек или твердого тела определяется как сумма моментов инерции частей, из которых состоит система или тело, т. е. или (*)

Момент инерции зависит от формы и размеров тела или системы, а также от положения и ориентации в пространстве оси, относительно которой определяется момент инерции.

Например, если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то относительно любой другой оси его можно рассчитать с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси О равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс С , и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (ОС = d) , т. е.

Моменты инерции тел относительно оси, проходящей через центр масс IС можно определить, пользуясь определением (*) и разбивая тело на элементы

1. Момент инерции плоской прямоугольной пластины относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно ее плоскости.

Момент инерции выделенного элемента (в виде стержня массой dm, длиной a и толщиной dx как показано на рисунке) по теореме Штейнера:

Из геометрических соображений , откуда , тогда

Тогда момент инерции пластины:

2. Момент инерции плоской треугольной пластины относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно ее плоскости.

Разобьем пластину на тонкие стержни массой dm длиной 2x и высотой dy, как показано на рисунке. Так как для стержня длины момент инерции относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр масс равен , то момент инерции такого стержня относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, по теореме Штейнера, равен:

,

где массу стержня можно выразить из пропорции

,

где – площадь стержня, а – площадь равностороннего треугольника.

Тогда масса стержня: , а его момент инерции:

С учетом того, что для равностороннего треугольника , получим:

Тогда . Но по теореме Штейнера , тогда, учитывая, что , получим выражение для :

1. В чем заключается физический смысл момента инерции?

2. От чего зависит момент инерции?

3. Сформулируйте теорему Штейнера.

4. С помощью теоремы Штейнера объясните, относительно какой оси момент инерции тела минимален (максимален)?

5. Получите расчетную формулу для момента инерции плоской прямоугольной пластины относительно оси, проходящей через центр масс, и лежащей в плоскости пластины.

6. Получите расчетную формулу для момента инерции пластины в форме равностороннего треугольника относительно оси, лежащей в плоскости пластины и проходящей через одну из его сторон.

7. Как нужно проводить эксперимент в данной работе, чтобы расчетные формулы, которыми вы пользовались, были справедливы

Лабораторная работа №7

Цель работы: определить коэффициент трения качения цилиндра по плоскости для различных пар металлических поверхностей и определить момент инерции сложной системы методом колебаний

Теоретическое описание

Рассмотрим цилиндр, покоящийся на горизонтальной плоскости (рис.1,а). На него действуют две взаимно уравновешивающие силы: сила тяжести , где m – масса цилиндра, и нормальная реакция плоскости . Если цилиндр (колесо) катится по плоскости, то появляется трение качения. Можно выделить следующие причины его возникновения. И цилиндр и плоскость при качении деформируются. При этом происходят потери механической энергии, связанные: а) с работой, затрачиваемой на образование валика А деформированной плоскости перед катящимся цилиндром (рис.1,б); б) со сжатием плоскости перед катящимся; в) с преодолением мостиков сцепления – тех областей на поверхности соприкосновения цилиндра и плоскости, где из-за неровности поверхностей существуют настолько большие давления, что между молекулами цилиндра и плоскости возникают силы межмолекулярного притяжения и они в этих местах "сцепляются" друг с другом.

Эти три причины приводят к тому, что точка приложения нормальной реакции смещается на расстояние d, в результате возникает момент силы реакции, направленный по оси вращения, которая проходит перпендикулярно плоскости рисунка 1, и препятствующий качению цилиндра. Модуль этого момента

(1)

Поэтому Mk называют моментом сопротивления качению, а величину d, численно равную смещению точки приложения реакции плоскости – коэффициентом трения качения. Коэффициент трения качения измеряется в единицах длины и, как показывает опыт d . Все данные занести в табл.2.

m =… кг, R =… м, l =… м, |AD| =… м, = … м.

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину 2 . Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений [ уточнить ] , который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание	Изображение	Моменты инерции	Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m		I = m r 2 <displaystyle I=mr^<2>> [1]	Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2.

Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r₁, внешнего радиуса r₂, длиной h и массой m I z = 1 2 m ( r 1 2 + r 2 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><2>>mleft(<1>>^<2>+<2>>^<2>
ight)> [1] [2]
I x = I y = 1 12 m [ 3 ( r 2 2 + r 1 2 ) + h 2 ] <displaystyle I_=I_=<frac <1><12>>mleft[3left(<2>>^<2>+<1>>^<2>
ight)+h^<2>
ight]>
или при определении нормированной толщины t_n = t/r и полагая r = r₂,
тогда I z = m r 2 ( 1 − t n + 1 2 t n 2 ) <displaystyle I_=mr^<2>left(1-t_+<frac <1><2>>>^<2>
ight)> При плотности ρ и той же геометрии: I z = 1 2 π ρ h ( r 2 4 − r 1 4 ) <displaystyle I_=<frac <1><2>>pi
ho hleft(<2>>^<4>-<1>>^<4>
ight)> Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m I z = m r 2 2 <displaystyle I_=<frac <2>><2>>> [1]
I x = I y = 1 12 m ( 3 r 2 + h 2 ) <displaystyle I_=I_=<frac <1><12>>mleft(3r^<2>+h^<2>
ight)> Это частный случай предыдущего объекта при r₁=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами) Тонкий твердый диск радиуса r и массы m I z = m r 2 2 <displaystyle I_=<frac <2>><2>>>
I x = I y = m r 2 4 <displaystyle I_=I_=<frac <2>><4>>> Это частный случай предыдущего объекта при h=0. Тонкое кольцо радиуса r и массы m I z = m r 2 <displaystyle I_=mr^<2>>
I x = I y = m r 2 2 <displaystyle I_=I_=<frac <2>><2>>> Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r₁=r₂ и h=0. Твёрдый шар радиуса r и массы m I = 2 m r 2 5 <displaystyle I=<frac <2mr^<2>><5>>> [1] Шар можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r. Пустотелая сфера радиуса r и массы m I = 2 m r 2 3 <displaystyle I=<frac <2mr^<2>><3>>> [1] Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец. Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m I a = m ( b 2 + c 2 ) 5 <displaystyle I_=<frac <2>+c^<2>)><5>>> — Прямой круговой конус радиуса r, высоты h и массы m I z = 3 10 m r 2 <displaystyle I_=<frac <3><10>>mr^<2>> [3]
I x = I y = 3 5 m ( r 2 4 + h 2 ) <displaystyle I_=I_=<frac <3><5>>mleft(<frac <2>><4>>+h^<2>
ight)> [3] — Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m I h = 1 12 m ( w 2 + d 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(w^<2>+d^<2>
ight)>
I w = 1 12 m ( h 2 + d 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(h^<2>+d^<2>
ight)>
I d = 1 12 m ( h 2 + w 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(h^<2>+w^<2>
ight)> Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра s <displaystyle s> , I C M = m s 2 6 <displaystyle I_=<frac <2>><6>>> . Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали. I = m ( W 2 D 2 + L 2 D 2 + W 2 L 2 ) 6 ( L 2 + W 2 + D 2 ) <displaystyle I=<frac <2>D^<2>+L^<2>D^<2>+W^<2>L^<2>
ight)><6left(L^<2>+W^<2>+D^<2>
ight)>>> Для куба с длиной ребра s <displaystyle s> , I = m s 2 6 <displaystyle I=<frac <2>><6>>> . Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m I c = m ( h 2 + w 2 ) 12 <displaystyle I_=<frac <2>+w^<2>)><12>>> [1] — Стержень длины L и массы m I c e n t e r = m L 2 12 <displaystyle I_<mathrm >=<frac <2>><12>>> [1] Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = . Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m
(Ось вращения в конце пластины) I e = m h 2 3 + m w 2 12 <displaystyle I_=<frac <2>><3>>+<frac <2>><12>>> — Стержень длины L и массы m
(Ось вращения на конце стержня) I e n d = m L 2 3 <displaystyle I_<mathrm >=<frac <2>><3>>> [1] Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = . Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m. Ось вращения относительно диаметра: 1 8 ( 4 a 2 + 5 b 2 ) m <displaystyle <frac <1><8>>left(4a^<2>+5b^<2>
ight)m> [4]
Ось вращения относительно вертикальной оси: ( a 2 + 3 4 b 2 ) m <displaystyle left(a^<2>+<frac <3><4>>b^<2>
ight)m> [4] — Плоскость многоугольника с вершинами P → 1 <displaystyle <vec

>_<1>> , P → 2 <displaystyle <vec

>_<2>> , P → 3 <displaystyle <vec

>_<3>> , . P → N <displaystyle <vec

>_> и массой m <displaystyle m> , равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.

I = m 6 ∑ n = 1 N − 1 ‖ P → n + 1 × P → n ‖ ( P → n + 1 2 + P → n + 1 ⋅ P → n + P → n 2 ) ∑ n = 1 N − 1 ‖ P → n + 1 × P → n ‖ <displaystyle I=<frac <6>><frac <sum limits _^|<vec

>_ imes <vec

>_|(<vec

>_^<2>+<vec

>_cdot <vec

>_+<vec

>_^<2>)><sum limits _^|<vec

>_ imes <vec

>_|>>>

— Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам

(т.е. ρ ( x , y ) = m 2 π a b e − ( ( x / a ) 2 + ( y / b ) 2 ) / 2 <displaystyle
ho (x,y)=< frac <2pi ab>>,e^<-((x/a)^<2>+(y/b)^<2>)/2>>

где: ρ ( x , y ) <displaystyle
ho (x,y)> — плотность масс как функция x и y).