Время при равнозамедленном движении

Время при равнозамедленном движении

—> Играть в ЕГЭ-игрушку Мобильный справочник Карточки НАШИ БОТЫ

3.1. Равнопеременное движение по прямой.

3.1.1. Равнопеременное движение по прямой — движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением:

3.1.2. Ускорение () — физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.

В векторном виде:

где — начальная скорость тела, — скорость тела в момент времени t.

В проекции на ось Ox:

где — проекция начальной скорости на ось Ox, — проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t.

Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox.

3.1.3. График проекции ускорения от времени.

При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):

Значение ускорения: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль ускорения

3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.

В векторном виде:

В проекции на ось Ox:

Для равноускоренного движения:

Для равнозамедленного движения:

3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.

График проекции скорости от времени — прямая линия.

Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox.

Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; где — изменение скорости за время

Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).

3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях

Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время — это путь, пройденный телом.

На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции:

(3.9)

3.1.7. Формулы для расчета пути

(3.10)

(3.12)

(3.11)

(3.13)

(3.14)

Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.

Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:

до пересечения (торможение):

После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)

В формулах выше — время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), — путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, — время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, — путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, — модуль вектора перемещения за все время движения, L — путь, пройденный телом за все время движения.

3.1.8. Перемещение за -ую секунду.

За время тело пройдет путь:

За время тело пройдет путь:

Тогда за -ый промежуток тело пройдет путь:

За промежуток можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего с.

Если то

Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:

Если внимательно посмотрим, то увидим, что и т. д.

Таким образом, приходим к формуле:

Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорением движется тело. Подчеркнем, что это соотношение справедливо при

3.1.9. Уравнение координаты тела при равнопеременном движении

Знаки проекций начальной скорости и ускорения зависят от взаимного расположения соответствующих векторов и оси Ox.

Для решения задач к уравнению необходимо добавлять уравнение изменения проекции скорости на ось:

3.2. Графики кинематических величин при прямолинейном движении

3.3. Свободное падение тела

Под свободным падением подразумевается следующая физическая модель:

1) Падение происходит под действием силы тяжести:

2) Сопротивление воздуха отсутствует (в задачах иногда пишут «сопротивлением воздуха пренебречь»);

3) Все тела, независимо от массы падают с одинаковым ускорением (иногда добавляют — «независимо от формы тела», но мы рассматриваем движение только материальной точки, поэтому форма тела уже не учитывается);

4) Ускорение свободного падения направлено строго вниз и на поверхности Земли равно (в задачах часто принимаем для удобства подсчетов);

3.3.1. Уравнения движения в проекции на ось Oy

В отличии от движения по горизонтальной прямой, когда далеко не всех задач происходит смена направления движения, при свободном падении лучше всего сразу пользоваться уравнениями, записанными в проекциях на ось Oy.

Уравнение координаты тела:

Уравнение проекции скорости:

Как правило, в задачах удобно выбрать ось Oy следующим образом:

Ось Oy направлена вертикально вверх;

Начало координат совпадает с уровнем Земли или самой нижней точкой траектории.

Читайте также:  Как включить 4к разрешение на телевизоре

При таком выборе уравнения и перепишутся в следующем виде:

3.4. Движение в плоскости Oxy.

Мы рассмотрели движение тела с ускорением вдоль прямой. Однако этим равнопеременное движение не ограничивается. Например, тело, брошенное под углом к горизонту. В таких задачах необходимо учитывать движение сразу по двум осям:

Или в векторном виде:

И изменение проекции скорости на обе оси:

3.5. Применение понятия производной и интеграла

Мы не будем приводить здесь подробное определение производной и интеграла. Для решения задач нам понадобятся лишь небольшой набор формул.

где A, B и то есть постоянные величины.

Теперь посмотрим, как понятие производной и интеграла применимо к физическим величинам. В математике производная обозначается «’», в физике производная по времени обозначается «∙» над функцией.

то есть скорость является производной от радиус-вектора.

Для проекции скорости:

то есть ускорение является производной от скорости.

Для проекции ускорения:

Таким образом, если известен закон движения то легко можем найти и скорость и ускорение тела.

Теперь воспользуемся понятием интеграла.

то есть, скорость можно найти как интеграл по времени от ускорения.

то есть, радиус-вектор можно найти, взяв интеграл от функции скорости.

Таким образом, если известна функция то легко можем найти и скорость, и закон движения тела.

Константы в формулах определяются из начальных условий — значения и в момент времени

3.6. Треугольник скоростей и треугольник перемещений

3.6.1. Треугольник скоростей

В векторном виде при постоянном ускорении закон изменения скорости имеет вид (3.5):

Эта формула означает, что вектор равен векторной сумме векторов и Векторную сумму всегда можно изобразить на рисунке (см. рис.).

В каждой задаче, в зависимости от условий, треугольник скоростей будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

3.6.2. Треугольник перемещений

В векторном виде закон движения при постоянном ускорении имеет вид:

При решении задачи можно выбирать систему отсчета наиболее удобным образом, поэтому не теряя общности, можем выбрать систему отсчета так, что то есть начало системы координат помещаем в точку, где в начальный момент находится тело. Тогда

то есть вектор равен векторной сумме векторов и Изобразим на рисунке (см. рис.).

Как и в предыдущем случае в зависимости от условий треугольник перемещений будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

Что такое равнозамедленное движение?

Равнозамедленное движение определение

Определение равнозамедленного движения:

Если укорение отрицательно, то модуль скорости равномерно уменьшается.

График скорости равнозамедленного движения

Пример графика скорости равнозамедленного движения, здесь начальная скорость равна 2 м/с, ускорение отрицательно и модуль его равен 0,3 м/с 2 :

(Этот график я построил с помощью построителя графиков. Выбрал в нём вид функции «Линейная: y = k * x + b» установил k = -0.3, b = 2 и нажал кнопку «Построить график».)

Чем больше отрицательное ускорение, тем быстрее будет падать скорость в нашем примере, т.е. если задать большее ускорение, то график круче пойдёт вниз.

Равнозамедленное движение формула

Формула скорости равнозамедленного движения (прямолинейного):

в этой формуле все величины являются скалярами, а не векторами.

Из формулы скорости равнозамедленного движения видно, что если увеличить ускорение, то быстрее будет падать скорость.

В момент времени t1 скорость падает до нуля, а после этого момента скорость нарастает, тело движется равноускоренно, но с отрицательной скоростью.

Равнопеременным прямолинейным движением материальной точки (тела) называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени

∆ t 1 = ∆ t 2 = . = ∆ t n

изменяется соответственно на равные величины

a = Δ v 1 Δ t 1 = Δ v 2 Δ t 2 = . = Δ v n Δ t n .

Векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения скорости, численно равную отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло:

называют ускорением . В Международной системе единиц ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (1 м/с 2 ).

Траекторией материальной точки при равнопеременном прямолинейном движении является прямая линия.

Различают два вида равнопеременного прямолинейного движения: равноускоренное прямолинейное движение и равнозамедленное прямолинейное движение.

Скорость материальной точки при равнопеременном движении изменяется по закону:

v → ( t ) = v → 0 + a → t ,

где v → ( t ) — вектор скорости точки в произвольный момент времени t ; v → 0 — вектор ее начальной скорости; a → — вектор ускорения.

Модуль скорости при равнопеременном движении может как увеличиваться (равноускоренное движение), так и уменьшаться (равнозамедленное движение).

Уравнение движения материальной точки при равнопеременном прямолинейном движении записывается в виде:

r → ( t ) = r → 0 + v → 0 t + a → t 2 2 ,

где r → ( t ) — радиус-вектор положения точки в произвольный момент времени t ; r → 0 — радиус-вектор начального положения материальной точки.

Если равнопеременное прямолинейное движение материальной точки (тела) происходит вдоль одной из координатных осей (например, Ox ), то уравнение движения целесообразно записывать в виде:

x ( t ) = x 0 + v 0 x t + a x t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

Читайте также:  В каких точках производная равна 0

v x ( t ) = v 0 x + a x t ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренным прямолинейным движением называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени увеличивается на равные величины. Векторы скорости v → и ускорения a → при таком движении имеют одинаковые направления:

Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки целесообразно рассматривать вдоль одной из координатных осей, например Ox .

Если при равноускоренном прямолинейном движении вектор начальной скорости (а значит, и ускорения) материальной точки совпадает с положительным направлением оси Ox (проекции скорости и ускорения положительные),

то уравнение движения принимает вид (рис. 1.4):

x ( t ) = x 0 + v 0 t + a t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = v 0 + at ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

Если при равноускоренном прямолинейном движении вектор начальной скорости (а значит, и ускорения) материальной точки совпадает с отрицательным направлением оси Ox (проекции скорости и ускорения отрицательные),

то уравнение движения выглядит следующим образом (рис. 1.5):

x ( t ) = x 0 − v 0 t − a t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = − v 0 − at ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

При равноускоренном прямолинейном движении модуль вектора перемещения и пройденный материальной точкой ( телом ) путь совпадают и могут быть вычислены с помощью формулы

| Δ r → ( t ) | = S ( t ) = v 0 t + a t 2 2

S = v 2 − v 0 2 2 a ,

где v 0 — модуль скорости в начале временного интервала; v — модуль скорости в конце временного интервала; a — модуль ускорения.

Путь, пройденный материальной точкой при равноускоренном прямолинейном движении за n секунд:

S ( n ) = v 0 n + a n 2 2 ,

где v 0 — модуль скорости в начале временного интервала; a — модуль ускорения;

и путь, пройденный за n -ю секунду, отличаются (рис. 1.6).

Путь, пройденный за n -ю секунду, может быть найден как разность:

S n = S ( n ) − S ( n − 1 ) ,

где S ( n ) = v 0 n + a n 2 2 — путь, пройденный за n секунд; S ( n − 1 ) = v 0 ( n − 1 ) + a ( n − 1 ) 2 2 — путь, пройденный за ( n − 1) секунд.

При равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости путь, пройденный телом за n -ю секунду, рассчитывается по формуле

S n = a ( 2 n − 1 ) 2 = ( n − 0,5 ) a ,

где a — модуль ускорения.

Равнозамедленное прямолинейное движение

Равнозамедленным прямолинейным движением называют движение, скорость которого за любые равные промежутки времени уменьшается на равные величины. Вектор скорости v → и вектор ускорения a → при таком движении имеют противоположные направления:

Равнозамедленное прямолинейное движение материальной точки целесообразно рассматривать вдоль одной из координатных осей, например Ox .

Если при равнозамедленном прямолинейном движении вектор начальной скорости материальной точки совпадает с положительным направлением оси Ox , то вектор ее ускорения имеет направление, противоположное указанной оси (рис. 1.7).

Уравнение движения в этом случае имеет вид:

x ( t ) = x 0 + v 0 t − a t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = v 0 − at ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

Если при равнозамедленном прямолинейном движении вектор начальной скорости материальной точки совпадает с отрицательным направлением оси Ox (проекция начальной скорости отрицательная), то вектор ее ускорения направлен в положительном направлении указанной оси (проекция ускорения положительная) (рис. 1.8).

Уравнение движения выглядит следующим образом:

x ( t ) = x 0 − v 0 t + a t 2 2 ,

а закон изменения (проекции) скорости с течением времени —

v x ( t ) = − v 0 + at ,

где x ( t ) — зависимость координаты от времени; x 0 — значение координаты в начальный момент времени ( t = 0); v 0 x — проекция начальной скорости материальной точки (тела) на координатную ось Ox ; a x — проекция ускорения на данную ось.

При равнозамедленном прямолинейном движении существует точка остановки (точка поворота), где скорость обращается в нуль; ей соответствует момент времени τ ост , который определяется из условия v (τ ост ) = 0:

До точки остановки тело движется равнозамедленно (в ту сторону, куда направлен вектор начальной скорости v → 0 ).

После точки остановки тело разворачивается и движется в противоположном направлении равноускоренно с нулевой начальной скоростью.

Путь , пройденный материальной точкой (телом) за определенный интервал времени при равнозамедленном прямолинейном движении, вычисляют по-разному в зависимости от того, содержит ли данный интервал точку остановки.

Если точка остановки не попадает в указанный интервал времени, то пройденный путь определяют как

S ( t ) = v 0 t − a t 2 2 или S = v 0 2 − v 2 2 a ,

где v 0 — модуль скорости в начале временного интервала; v — модуль скорости в конце временного интервала; a — модуль ускорения.

Если точка остановки попадает в указанный интервал времени, то пройденный путь определяют как сумму:

Читайте также:  Изготовлено в prc что это значит

S ( t ) = S 1 + S 2 ,

где S 1 — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t 1 до τ ост ; S 2 — путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от τ ост до t 2 (рис. 1.9):

S 1 = | x ( τ ост ) − x ( t 1 ) | ; S 2 = | x ( t 2 ) − x ( τ ост ) | ,

где x ( t 1 ) — координата материальной точки в момент времени t 1 ; x ( t 2 ) — координата точки в момент времени t 2 ; x (τ ост ) — координата точки в момент времени τ ост .

При равнозамедленном прямолинейном движении модуль вектора перемещения материальной точки удобно вычислять как разность координат (рис. 1.10):

| Δ r → ( t ) | = | x ( t 2 ) − x ( t 1 ) | ,

где x ( t 1 ) — координата материальной точки в момент времени t 1 ; x ( t 2 ) — координата точки в момент времени t 2 ; x (τ ост ) — координата точки в момент времени τ ост .

Пример 1. Материальная точка движется вдоль оси Ox . Проекция ее скорости с течением времени меняется по закону v = 12 − 4,0 t , где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Определить модуль перемещения материальной точки за интервал времени от 2,0 с до 4,0 с.

Решение. При равнопеременном движении зависимость проекции скорости от времени имеет вид:

v x = v 0 x + a x t ,

где v 0 x = 12 м/с — проекция начальной скорости; a x = −4,0 м/с 2 — проекция ускорения на указанную координатную ось.

Запишем уравнение движения материальной точки:

x ( t ) = x 0 + v 0 x t + a x t 2 2 = x 0 + 12 t − 2,0 t 2 ,

где x 0 — начальная координата точки.

Вычислим координаты материальной точки в моменты времени t 1 = 2,0 c и t 2 = 4,0 c. Для этого подставим в уравнение движения значения t 1 и t 2 :

x ( t 1 ) = x 0 + 12 t 1 − 2 t 1 2 = x 0 + 12 ⋅ 2,0 − 2 ⋅ ( 2,0 ) 2 = x 0 + 16 ,

x ( t 2 ) = x 0 + 12 t 2 − 2 t 2 2 = x 0 + 12 ⋅ 4,0 − 2 ⋅ ( 4,0 ) 2 = x 0 + 16 .

Модуль перемещения материальной точки вычислим как разность координат:

| Δ r → | = | x ( t 2 ) − x ( t 1 ) | = 0 .

Перемещение материальной точки равно нулю, т.е. она возвратилась в то место на координатной оси, где находилась в момент времени t 1 = 2,0 c.

Пример 2. Материальная точка движется вдоль оси Ox . Проекция ее скорости с течением времени меняется по закону v = 9,0 − 1,5 t , где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Определить путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 4,0 с до 7,0 с.

Решение. При равнопеременном движении зависимость проекции скорости от времени имеет вид:

v x = v 0 x + a x t ,

где v 0 x = 9,0 м/с — проекция начальной скорости; a x = −1,5 м/с 2 — проекция ускорения на указанную координатную ось.

Запишем уравнение движения материальной точки:

x ( t ) = x 0 + v 0 x t + a x t 2 2 = x 0 + 9,0 t − 0,75 t 2 ,

где x 0 — начальная координата точки.

Точка остановки, вычисленная по формуле

τ ост = v 0 a = 9,0 1,5 = 6,0 c,

попадает в интервал времени, указанный в условии задачи.

В интервале времени от t1 = 4,0 c до τост = 6,0 с точка движется равнозамедленно. Следовательно, пройденный путь вычисляем по формуле

S 1 = | x ( τ ост ) − x ( t 1 ) | ,

x ( τ ост ) = x 0 + 9,0 τ ост − 0,75 τ ост 2 =

= x 0 + 9,0 ⋅ 6,0 − 0,75 ⋅ ( 6,0 ) 2 = ( x 0 + 27 ) м;

x ( t 1 ) = x 0 + 9,0 t 1 − 0,75 t 1 2 = x 0 + 9,0 ⋅ 4,0 − 0,75 ⋅ ( 4,0 ) 2 = ( x 0 + 24 ) м.

Таким образом, путь S1, пройденный материальной точкой в указанном интервале времени, равен:

S 1 = | x ( τ ост ) − x ( t 1 ) | = | ( x 0 + 27 ) − ( x 0 + 24 ) | = 3,0 м.

В интервале времени от τост = 6,0 с до t2 = 7,0 c точка движется равноускоренно. Следовательно, пройденный путь вычисляем по формуле

S 1 = | x ( t 2 ) − x ( τ ост ) | ,

x ( τ ост ) = x 0 + 9,0 τ ост − 0,75 τ ост 2 =

= x 0 + 9,0 ⋅ 6,0 − 0,75 ⋅ ( 6,0 ) 2 = ( x 0 + 27 ) м;

x ( t 2 ) = x 0 + 9,0 t 2 − 0,75 t 2 2 =

= x 0 + 9,0 ⋅ 7,0 − 0,75 ⋅ ( 7,0 ) 2 = ( x 0 + 26,25 ) м.

Таким образом, путь S 2 , пройденный материальной точкой в указанном интервале времени, равен:

S 2 = | x ( t 2 ) − x ( τ ост ) | = | ( x 0 + 26,25 ) − ( x 0 + 27 ) | = 0,75 м ≈ 0,8 м.

Суммарный путь S , пройденный материальной точкой в интервале времени от 4,0 с до 7,0 с, составляет

S = S 1 + S 2 ≈ 3,0 + 0,8 = 3,8 м.

Пример 3. Тело движется по прямой и в начале пути имеет скорость 3 м/с. Пройдя некоторое расстояние, тело приобретает скорость 9 м/с. Считая движение тела равноускоренным, определить его скорость на половине указанного расстояния.

Решение. В условии задачи нет указаний на время движения тела. Поэтому для вычисления пройденного пути целесообразно воспользоваться формулой, не содержащей время движения, т.е.

S = v 2 − v 0 2 2 a ,

где v 0 — модуль скорости материальной точки в начале пути; v — модуль ее скорости в конце пути; a — модуль ускорения.

Разобьем путь на два равных участка S 1 = S /2 и S 2 = S /2, обозначив величину скорости в начале первого участка v 0 , в конце второго участка — v к , в конце первого (начале второго) участка пути — v , как показано на рисунке.

Запишем указанную формулу дважды:

    для первого участка пути —

S 1 = v 2 − v 0 2 2 a ;

для второго участка пути —

S 2 = v к 2 − v 2 2 a ,

где v 0 = 3 м/с; v к = 9 м/с.

Отношение уравнений дает равенство

S 1 S 2 = v 2 − v 0 2 2 a ⋅ 2 a v к 2 − v 2 = v 2 − v 0 2 v к 2 − v 2 = 1 ,

позволяющее вычислить величину искомой скорости:

Ссылка на основную публикацию
Воскресенье передай понедельнику пусть не приходит картинка
В се воскресенье буду делать «Великое нефига», а под вечер ещё и устану… К аждое воскресенье с утра по зеркалу...
Видеорегистратор зеркало алиэкспресс отзывы
Держу пари: практически любой завсегдатай нашего Сообщества слывет в своём окружении заядлыми китаефилом! Ну признайтесь, ведь это к Вам бегут...
Видеорегистратор не видит монитор
Друзья!Я не занимаюсь ремонтом регистраторов.Выложил информацию для самостоятельного принятия решения по вашим регистраторам (типичным)А уж ремонтировать или выкинуть в ведро...
Воспользоваться панелью быстрого доступа можно
Панель быстрого доступа располагается над лентой. В нее вынесены наиболее часто используемые команды. По умолчанию панель содержит три команды: Сохранить,...
Adblock detector